Enunciado

A figura representa uma peça plana de uma chapa metálica, simétrica em relação ao eixo A-A e que tem o contorno superior parabólico. Escolha as suas próprias coordenadas e calcule a distância h - a partir da base até o centro de gravidade da peça

Passo 1

Sabendo que a equação para encontrar o centroide é dado por:

    y - = ∫ y d A A

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, bem como nossa origem de coordenadas, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a x e temos a nossa área. Como também, por simetria podemos utilizar metade da área para facilitar os cálculos. Dessa maneira:

A = ∫ d A = ∫ 0 30 y   d x

Mas antes precisamos encontrar a função que descreve esta parábola. Sabendo que a equação que descreve uma parábola é dada por:

y = b + a x 2

Note que, quando o x=0 temos y = b = 20 .

Logo,

y = 20 + a x 2

Sendo que, quando x = 30, teremos:

y = 20 + a 30 2 = 50

a = 1 30

Com isso:

y = 20 + 1 30 x 2

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

A =   ∫ 0 30 y   d x =   ∫ 0 30 20 + 1 30 x 2 d x

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área, sendo que:

A = ∫ 0 30 20 + 1 30 x 2 d x = 20 x + x 3 90   30 0

A = 900

Passo 4

Vamos encontrar o centroide em relação a coordenada y.

Mas antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto.

Cuidado! Para encontrarmos o centroide em relação a y, teremos que ter um cuidado, o ponto Y na nossa delimitação da área está no meio dos extremos, ou seja,

y c = y 2

Lembre-se que o dA também é dado por:

d A = y   d x  

Com isso,

∫ y c d A = ∫ y 2 ( y ) d x = ∫ 0 30 1 2 ( y 2 ) d x  

Logo,

∫ y c d A = ∫ 0 30 1 2 20 + 1 30 x 2 2 d x

∫ y c d A =   ∫ 0 30 1 2 400 + 4 3 x 2 + x 4 900 d x

Dessa maneira:

∫ y c d A = 1 2 400 x + 4 9 x 3 + x 5 4500 30 0 = 14700

Passo 5

Agora substituindo na equação do centroide, temos:

h - =   y - = 14700 900 = 16,33   m m

Resposta

h - = 16,33   m m  

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Localize o centro de gravidade do volume. O material é homogêneo.
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Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide y - do paraboloide.