Enunciado

Determine a coordenada y do centroide da área plana mostrada. Coloque h = 0 em seu resultado e compare-o com o resultado y - = 4 α 3 π para área semicircular (veja o Exemplo 5/3 e a Tabela D/3). Avalie também o resultado para as condições h = α 4 e h = α 2 .

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  y - =   ∫ y c d A A  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a y, assim temos a nossa área. Note que, o nosso elemento de área é um retângulo. Portanto:

d A = 2 x d y

Observe também, que a função que descreve a curva superior é de uma circunferência. Logo,

x 2 + y 2 = a 2

Isolando x, temos:

x =   + a 2 - y 2

Desse modo, o elemento de área é dado por:

d A = 2 a 2 - y 2 d y

Sendo que,

A = ∫ d A

Atente para o limite de integração, que varia de h a ao raio a.

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

A = ∫ d A = ∫ h a 2 a 2 - y 2 d y  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos a área, dessa maneira, por substituição trigonométrica teremos:

A = 2 1 2 y a 2 - y 2 + a 2 sin - 1 ⁡ y a a h  

Substituindo,

A = a 2 π 2 - sin - 1 ⁡ h a - h a 2 - h 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Portanto:

∫ y d A = ∫ h a 2 y a 2 - y 2 d y  

Por substituição simples,

∫ y d A = 2 - 1 3 a 2 - y 2 3 2 a h

∫ y d A = 2 3 a 2 - h 2 3 2

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição trigonométrica em integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

y - = ∫ y d A A = 2 3 a 2 - h 2 3 2 a 2 π 2 - sin - 1 ⁡ h a - h a 2 - h 2  

Passo 5

Vamos para os casos especiais que o problema pede.

Para h = 0:

y - = 2 3 a 2 - h 2 3 2 a 2 π 2 - sin - 1 ⁡ h a - h a 2 - h 2 = 2 3 a 3 a 2 π 2 = 4 a 3 π

O resultado está correto.

Para h = a 4 :

y - = 2 3 a 2 - a 4 2   3 2 a 2 π 2 - sin - 1 ⁡ 1 4 - a 4 a 2 - a 4 2 = 0,562 a

Para h = a 2 :

y - = 2 3 a 2 - a 2 2   3 2 a 2 π 2 - sin - 1 ⁡ 1 2 - a 2 a 2 - a 2 2 = 0,705 a

Resposta

  h = 0   : y - = 4 a 3 π  

h = a 4   : y - = 0,562 a

h = a 2   : y - = 0,705 a

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Localize o centroide z do volume.
Determine o centróide da em z da figura abaixo.
Determine o centroide z da figura:
Determine o centróide da em z da figura abaixo.
With your pencil, make a dot on the position of your best visual estimate of the centroid of the area of the circular sector. Check your estimate by using the results of Sample Problem 5/3.