Enunciado

Um fio homogêneo de comprimento V é dobrado como mostrado e pode oscilar em torno de um pino sem fricção em B. Denotando por τ 0 o período de pequenas oscilações quando β = 0, determine o ângulo β para o qual o período de pequenas oscilações é 2 τ 0 .

Passo 1

Denotamos por m a massa de metade do arame

Posição 1 – máxima deflexão

T 1 = 0 , V 1 = - m g l 2 c o s ⁡ θ m - β - m g 1 2 c o s ⁡ θ m + β = - m g l 2 c o s ⁡ θ m c o s ⁡ β + s i n ⁡ θ m s i n ⁡ β + c o s ⁡ θ s t c o s ⁡ β - s i n ⁡ θ m s i n ⁡ β

V 1 = - m g l c o s ⁡ β c o s ⁡ θ m

Para pequenas oscilações

c o s ⁡ θ m ≈ 1 - 1 2 θ m 2

V 1 = - m g / c o s ⁡ β + 1 2 m g / c o s ⁡ β θ m 2

Passo 2

Posição 2 – máxima velocidade

T 2 = 1 2 I B θ ˙ m 2  mas   I B = 2 1 3 m l 2

Então

T 2 = 1 2 2 3 m l 2 θ ˙ m 2

V 2 = - 2 m g l 2 c o s ⁡ β = - m g l c o s ⁡ β

Conservação de energia

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

- m g l c o s ⁡ β + 1 2 m g l c o s ⁡ β θ m 2 = 1 3 m l 2 θ ˙ m 2 - m g l c o s ⁡ β

Deixando

θ ˙ m = θ i n ω n 1 2 m g l c o s ⁡ β θ m 2 = 1 3 m l 2 θ m 2 ω n 2

ω n 2 = 3 g 2 l c o s ⁡ β τ = 2 π ω n = 2 π 2 l 3 g c o s ⁡ β (1)

Mas para β = 0 τ 0 = 2 π 2 l 3 g

Para

τ = 2 τ 0 2 π 2 l 3 g c o s ⁡ β = 2 2 π 2 l 3 g

1 cos ⁡ β = 4               c o s ⁡ β = 1 4

β = 75.5 ∘

Resposta

β = 75.5 ∘

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5/71) A barra C B desliza através do cursor articulado fixado à barra O A . Se C B possui uma velocidade angular no sentido horário de 2r a d / s , determine a velocidade angular ω O A da barra O A qu
5/76) No instante representado , a placa triangular A B D possui uma velocidade angular no sentido horário de 3r a d / s . Determine para esse instante a velocidade angular ω B C da barra B C .
5/105) Determine a velocidade do ponto D no Prob.5/62 pelo método da seção 5/5 .
5/104) A extremidade A da vara delgada recebe uma velocidade v A para a direita ao longo dasuperfície horizontal . Mostre que o módulo da velocidade da extremidade B é igual á v A quando o ponto centr
5/102) O eixo do conjunto da roda sem deslizar sobre a superfície horizontal fixa . e o ponto O possui uma velocidade de 0,8m / s para a direita . Pelo método dessa seção , determine as velocidades do