Enunciado

Um foguete de dois estágios é lançado verticalmente para cima e está acima da atmosfera quando a combustão do primeiro estágio se extingue e o segundo estágio se separa e entra em ignição. O segundo estágio carrega 1200   k g de combustível e, vazio, possui uma massa de 200   k g . Após a ignição o segundo estágio queima combustível na taxa de 5,2   k g / s e tem uma velocidade constante de exaustão de 3000   m / s em relação ao seu bocal. Determine a aceleração do segundo estágio 60 segundos após a ignição e encontre a aceleração máxima e o tempo t após a ignição em que ela ocorre. Despreze a variação de g e considere-a como sendo 8,70   m / s 2 para a faixa de altitude na média em torno de 400   k m .

Passo 1

Vamos pensar apenas no segundo estágio do foguete, ou seja, estamos analisando o sistema já depois da separação. Precisamos de uma equação para a massa:

m = m 0 + m ' t

A massa inicial já foi dada no enunciado:

m 0 = 1200 + 200 = 1400   k g

E a taxa de variação de massa também:

m ˙ = - 5,2   k g / s

E então:

m = 1400 - 5,2   t

Passo 2

Agora vamos pensar na equação que dá a soma das forças externas que agem sobre um sistema:

∑ F = m v ˙ + m ˙ u

Nesse caso a única força externa é a força peso, então:

∑ F = - m g

E o sinal negativo aparece porque definimos o sentido positivo como sendo vertical para cima. E então nossa equação fica:

- m g = m v ˙ + m ˙ u

- 1400 - 5,2   t g = 1400 - 5,2   t v ˙ - 5,2 ( 3000 )

E a taxa de variação da velocidade v ˙ = a é a aceleração que queremos calcular:

1400 - 5,2 t a + g = ( 5,2 ) ( 3000 )

Agora podemos isolar a aceleração, e substituir g = 8,70   m / s 2 conforme o enunciado:

a = 5,2 3000 ( 1400 - 5,2 t ) - 8,70

E daí já podemos responder a primeira pergunta: a aceleração no instante t = 60   s é:

a = 5,2 3000 1400 - 5,2 60 - 8,70

a = 5,64   m / s 2  

Passo 3

Agora queremos encontrar a aceleração máxima do segundo estágio. Naturalmente, essa aceleração vai acontecer assim que todo o combustível tiver sido queimado.

Como tínhamos 1200   k g de combustível e o foguete queima 5,2   k g a cada segundo, o tempo total dessa queima será:

t = 1200 5,2 ≅ 230,77   s

E a aceleração nesse instante é:

a = 5,2 3000 1400 - 5,2 230,77 - 8,70

a = 69,3   m / s 2

Resposta

No instante t = 60   s a aceleração é a = 5,64   m / s 2 , e seu valor máximo é a = 69,3   m / s 2 , que ocorre em aproximadamente t = 231   s .

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