Enunciado

A força axial excêntrica P atua no ponto D, que deve estar localizada 25 m m abaixo da superfície superior da barra de aço mostrada. Para P = 60   k N , determine.

  1. A altura d da barra para a qual a tensão de tração no ponto A é máxima e.
  2. A tensão correspondente no ponto A.

Passo 1

Para podermos determinar a largura da barra afim de termos a tensão do ponto A máxima, precisamos definir a tensão na barra em função do que temos, sendo assim, temos que lembrar que a tensão na barra tem que ser definida da seguinte maneira.

σ A = P A + M y I

Sabemos que:

M = P e

Em que e é a excentricidade da carga com relação ao centroide da seção. Com isso temos que:

e = d 2 - a

Sabemos também que:

I = B H 3 12 = b d 3 12

A = b   x   d

y = d 2

Substituindo teremos que:

σ A = P b d + P e d 2 b d 3 12

σ A = P b d + 12 P e d 2 b d 3

σ A = P b d + 6 P e d b d 3

σ A = P b d + 6 P ( d 2 - a ) b d 2

σ A = P b d + 6 P d 2 b d 2 - 6 P a b d 2

σ A = P b d + 3 P b d - 6 P a b d 2

σ A = 4 P b d - 6 P a b d 2

σ A = P b 4 d - 6 a d 2

Passo 2

Como queremos o valor de d que produz a máxima tensão de tração, precisamos derivar a nossa equação anterior, e igualar ela a zero, pois assim obtemos exatamente a máxima tração atuante na nossa seção, assim, temos que:

d σ A d d = d d d P b 4 d - 6 a d 2

d σ A d d = P b - 4 d 2 + 12 a d 3 = 0

Assim isolando, temos que:

12 a d 3 = 4 d 2

d = 12 a 4 = 3 a

Ou seja, temos que a máxima altura é dada por:

d = 3 a

E assim, pelo enunciado temos que a = 25 m m , assim temos que:

d = 3 × 25 = 75 m m

E assim resolvemos o item a).

Passo 3

Sabemos que a fórmula de tensão é dada por:

σ A = P b 4 d - 6 a d 2

E queremos a máxima tensão usando a altura que descobrimos no item a), assim temos que os dados são:

P = 60   k N = 60000   N

b = 40   m m

d = 75   m m

a = 25   m m

Substituindo, temos que:

σ A = 60000   [ N ] 40   [ m m ] 4 75   [ m m ] - 6 × 25   [ m m ] 75 2 m m 2

σ A = 40 N m m 2 = 40 M P a

Resposta

  1. d = 75 m m
  2. σ A = 40 M P a
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