Enunciado

Uma força constante P é aplicada a um pistão e haste de massa total m para fazê-los se mover em um cilindro cheio de óleo. Conforme o pistão se move, o óleo é forçado através dos orifícios no pistão e exerce no pistão uma força de magnitude k v em uma direção oposta ao movimento do pistão. Sabendo que o pistão começa do repouso em t = 0 e x = 0, mostre que a equação que relaciona x, v e t, onde x é a distância percorrida pelo pistão e v é a velocidade do pistão, é linear em cada das variáveis.

Passo 1

Vamos esboçar as forças atuantes no pistão para realizar o somatório das forças:D

+ → Σ F = m a : P - k v = m a

d v d t = a = P - k v m

∫ 0 t   d t = ∫ 0 v   m d v P - k v

= - m k l n ⁡ ( P - k v ) | 0 v   = - m k [ l n ⁡ ( P - k v ) - l n ⁡ P ]  

t = - m k l n ⁡ P - k v P   o u                 i n   P - k v m = - k t m

P - k v m = e - k i j m         o u           v = P k 1 - e - k t i m

Passo 2

Para a obtenção da posição temos :D

x = ∫ 0 i   v d t = P t k | 0 t - P k - k m e - k j i m | 0 t

= P t k + P m e - k t ' n - 1 = P t k - P m 1 - e - k t i m

x = P t k - k v m , que é linear

Resposta

x = P t k - k v m

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