Enunciado

Se a força resultante que atua sobre o gancho é F R = 200 i + 800 j + 150 k N, determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados de F .

Passo 1

Queremos encontrar a força F dadas as forças F 1 e F R .

Antes, vamos decompor F 1 nas suas componentes, de início já podemos encontrar a direção k , dada a relação por cateto e hipotenusa dada pelo triângulo da força com o plano x y :

F 1 z = F 1 3 5

F 1 z = 600 3 5

F 1 z = 360   N

Já, a projeção no plano x y é dada por:

F 1 x y = F 1 4 5

F 1 x y = 600 cos ⁡ 4 5

F 1 x y = 480   N

E então decompomos em x e y :

Temos em x :

F 1 x = F 1 x y sin ⁡ 30 °

F 1 x = 480   sin ⁡ 30 °

F 1 x = 240   N

E temos em y :

F 1 y = F 1 x y cos ⁡ 30 °

F 1 y = 480   cos ⁡ 30 °

F 1 y = 416   N

E o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 = 240 i + 416 j - 360 k   N

Perceba que a direção k é negativa de acordo com o sentido negativo da força no eixo z .

Passo 2

Vamos agora encontrar as componentes da força F , dado:

F R = F 1 + F

F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F x i + F y j + F z k

F x i + F y j + F z k = 200 i + 800 j + 150 k - 240 i + 416 j - 360 k

F x i + F y j + F z k = { - 40,0 i + 384 j + 510 k }

F x = - 40,0   N

F y = 384   N

F z = 51 0   N

E a intensidade do seu módulo será:

F   = F x 2 + F y 2 + F z 2

F   = - 40 , 0 2 + 384 2 + 5 1 0 2

F R   =   640   N

Passo 3

Só falta encontrar os ângulos de direção coordenados de F , sendo:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ - 40,0 640 ∴ α = 93,6 °

β = cos - 1 ⁡ 384 640 ∴ β = 53,1 °

γ = cos - 1 ⁡ 5 1 0 640 ∴ γ = 37,2 °

Resposta

F   =   640   N

α = 93,6 °

β = 53,1 °

γ = 37,2 °

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