Enunciado

Se a força resultante que atua sobre o suporte precisa ser F R = 800 j   N , determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados de F .

Passo 1

Fala, querido! Ele diz que a resultante é F R = 800 j   N . E queremos F e sua direção.

Como só temos F e F 1 , queremos achar a F que somado com F 1 nos entregue a F R dada.

Vamos começar decompondo F 1 nas suas componentes. Repara que faz um ângulo de 45 ° com o plano x y e sua projeção nesse plano faz um ângulo de 30 ° com x .

De início já podemos encontrar a direção k , dado que a força faz 45 ° com o plano x y . Como esse ângulo é oposto a z, usamos seno:

F 1 z = - F 1 sin ⁡ 45 °

F 1 z = - 750 sin ⁡ 45 °

F 1 z = - 530   N

Já, a projeção no plano x y é dada por:

F 1 x y = F 1 cos ⁡ 45 °

F 1 x y = 750 cos ⁡ 45 °

F 1 x y = 530   N

E então podemos decompor em x e y . Como o ângulo de 30 ° está colado em x , a gente coloca cosseno nessa componente e seno na outra. Ambos ficam positivos. Temos em x :

F 1 x = F 1 x y cos ⁡ 30 °

F 1 x = 530   cos ⁡ 30 °

F 1 x = 459   N

E temos em y :

F 1 y = F 1 x y sin ⁡ 30 °

F 1 y = 530   sin ⁡ 30 °

F 1 y = 265   N

E o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 = 459 i + 265 j - 530 k   N

Perceba que a direção k é negativa de acordo com o sentido negativo da força no eixo z . (ela aponta para baixo). Vamos seguir!

Passo 2

Agora podemos encontrar F através do somatório vetorial das forças. Nós fazemos as operações em cada componente separadamente. Temos que

F R → = F 1 → + F →

F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F x i + F y j + F z k

800 j   = 459 i + 265 j - 530 k + F x i + F y j + F z k

0 - 459 i + 800 - 265 j + ( 0 + 530 ) k = F x i + F y j + F z k

F x i + F y j + F z k = { - 459 i + 535 j + 530 k }

Podemos igualar cada componente e achar:

F x = - 459   N

F y = 535   N

F z = 530   N

Essas são as componentes da nossa força F nos eixos coordenados. Daí podemos achar a intensidade do seu módulo:

F   = F x 2 + F y 2 + F z 2

F   = - 459 2 + 535 2 + 530 2

F = F =   882   N

Passo 3

Só falta encontrar os ângulos de direção coordenados de F . Eles são dados pelas fórmulinhas:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Substituindo nossos dados:

α = cos - 1 ⁡ - 459 882 = 121 °

β = cos - 1 ⁡ 535 882 = 52,6 °

γ = cos - 1 ⁡ 530 882 = 53,1 °

Resposta

F   =   882   N

α = 121 °

β = 52,6 °

γ = 53,1 °

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