Enunciado

Uma fórmula para especificação de potência deve ser deduzida para os motores elétricos que acionam esteiras transportadoras que deslocam material sólido a diferentes taxas ao longo de alturas e distâncias diferentes. Representando por η a eficiência dos motores e desprezando a potência necessária para acionar a própria esteira, deduza uma fórmula para a potência P em k W em termos da vazão em massa m em k g / h , da altura b e da distância horizontal l Em metros.

Passo 1

Vamos lá! Precisamos obter a relação para a potência do motor necessário para acionar a esteira transportadora. Mas antes de nos preocuparmos com a questão de eficiência, vamos calcular aqui a potência útil, aquela que realmente é utilizada!

Sabemos que a potência é a taxa de variação do trabalho de uma força no tempo. Portanto,

P = Δ U Δ t

Como a força atuante é a força peso (em uma altura b de elevação), temos:

P = m g b Δ t

Portanto,

P = g b m Δ t = g b m ˙

Esta é a nossa relação para o cálculo da potência!

Passo 2

Agora que obtivemos a relação da potência, precisamos transformar as unidades para atender o enunciado da questão e conseguirmos ela em kW.

Para isto, vamos colocar todas as incógnitas no SI (sistema internacional).

Como nada foi dito sobre a gravidade e o comprimento b foi dado em metros, não precisamos mexer aqui. Assim, a única operação que precisamos nos preocupar é com a taxa de variação de massa.

Aqui devemos ter bastante cuidado! No enunciado da questão ele pede para escrever como m ,o que normalmente é apenas a massa, e aqui escrevemos como m ˙ apenas para diferenciar.

Além disto, esta taxa está em k g / h , sendo que deveria estar em k g / s . Portanto,

m ˙   k g s = m ˙   k g h ⋅ 1   h 3600   s = m ˙ 3600

Então, chamando m ˙ de m e fazendo a substituição, a potência útil em W será:

P W = g b m 3600

Como queremos em k W , precisamos dividir por 1000 . Logo,

P k W = g b m 3600 ⋅ 10 3

Passo 3

Só que temos um problema. No final do Passo 2 nós calculamos a potência útil. Entretanto, a questão nos pede para calcularmos a potência do motor! Lembrando a definição, ela será:

η = P ú t i l P m o t o r

P m o t o r = P ú t i l η = g b m 3600 ⋅ 10 3 η

P m o t o r k W = 2,78 ⋅ 10 - 7 g b m η

Resposta

P m o t o r k W = 2,78 ⋅ 10 - 7 g b m η

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