Enunciado

A roda é constituída por um aro de 4   k g com 250   m m de raio, com cubo e raios de massa desprezível. A roda está montada no garfo O A de 3   k g com centro de massa em G e com um raio de giração em relação a O de 350   m m . Se o conjunto é liberado a partir do repouso na posição horizontal mostrada e se a roda rola sobre a superfície circular sem deslizar, calcule a velocidade do ponto A quando atinge A ' .

Passo 1

Vamos começar escrevendo a lei de conservação de energia:

Δ T + Δ V g = 0

Como o sistema parte do repouso, a variação Δ T da energia cinética vai ser a seguinte:

Δ T = Δ T g a r f o + Δ T r o d a

Δ T = 1 2 I ω 2 g a r f o + 1 2 I ω 2 r o d a

Onde ω é a velocidade angular final de cada corpo em torno do ponto O . As duas velocidades podem ser reescritas em termos da velocidade linera v A :

ω g a r f o = v A 0,500 = 2 v A

ω r o d a = v A 0,250 = 4 v A

Então:

Δ T = 1 2 2 v A 2 I g a r f o + 1 2 4 v A 2 I r o d a

Δ T = 2 v A 2 I g a r f o + 4 I r o d a

Passo 2

O momento de inércia do garfo pode ser calculado a partir do raio de giração:

I g a r f o = m k 2 = 3 0,350 2 = 0,3675   k g ∙ m 2

E o da roda pode ser calculado usando o teorema dos eixos paralelos:

I r o d a = I c m + m d 2

Onde d é a distância do centro de massa da roda até o ponto O :

I r o d a = m r 2 + m 0,500 - 0,250 2

I r o d a = 4 0,250 2 + 4 0,250 2 = 0,5   k g ∙ m 2

Vamos substituir isso na expressão da energia cinética:

Δ T = 2 v A 2 I g a r f o + 4 I r o d a

Δ T = 2 v A 2 0,3675 + 4 0,5 = 4,735   v A 2

Passo 3

Agora falta encontrar uma expressão para a variação de energia potencial gravitacional:

Δ V g = Δ V r o d a + Δ V g a r f o

Δ V g = g m r Δ h r + m g Δ h g

Onde Δ h é a variação da altura do centro de massa de cada um dos corpos. Podemos encontrar as duas apenas olhando para o desenho no enunciado:

Δ h r = - 0,500   m

Δ h g = - 0,300   m

Então:

Δ V g = 9,81 4 - 0,500 + 3 - 0,3 = - 28,45   J

Vamos voltar à nossa lei de conservação de energia:

Δ T + Δ V g = 0

4,735   v A 2 - 28,45 = 0

v A = 2,45   m / s

Resposta

A velocidade do ponto A quando atinge A ' será v A = 2,45   m / s .

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