Enunciado

A porta de garagem uniforme A B mostrada em seção tem uma massa m e está equipada com dois mecanismos acionados por mola iguais ao mostrado, um de cada lado da porta. O braço O B tem massa desprezível e o canto superior A da porta é livre para se mover horizontalmente sobre um rolete. O comprimento não esticado da mola é r - a de forma que na posição superior com θ = π a força da mola vale zero. Para garantir um funcionamento suave da porta quando ela atinge a posição vertical fechada em θ = 0 , é desejável que ela seja insensível a movimentos nessa posição. Determine a rigidez k da mola necessária para esse projeto.

Passo 1

Dizer que na posição vertical fechada da porta ela é insensível a movimentos é a mesma coisa que dizer que a porta está num equilíbrio estável. Se temos uma função potencial V ( θ ) para a energia potencial do sistema em função da angulação da porta, a condição para o equilíbrio é:

δ V δ θ = 0

Temos também a relação que garante o equilíbrio estável:

δ 2 V δ θ 2 > 0

Devemos então achar a função potencial do sistema em função de θ , para então derivar e aplicar as condições para o equilíbrio estável.

Passo 2

A energia potencial do sistema é composta pela energia das duas molas e a energia potencial gravitacional da porta. Vamos começar com as molas. Queremos saber o elongamento x da mola em função de θ , para então aplicar a fórmula para a energia potencial das molas:

V e l = 2 ⋅ 1 2 k x 2 = k x 2

Temos na figura o seguinte triângulo:

Para achar o comprimento total l de cada mola, podemos usar a lei dos cossenos:

l 2 = a 2 + r 2 - 2 a r cos ⁡ 180 ° - θ = a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ

Então:

l = a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ

Se o comprimento da mola relaxada é r - a , então o elongamento x é:

x = a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ - ( r - a )

Com o valor de x , calculamos então a energia potencial elástica:

V e l = k x 2 = k a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ - r - a 2

Passo 3

Agora falta calcular a energia potencial gravitacional V g . Ela é função da altura y do centro de massa da porta em relação ao ponto O . Vamos definir O como referencial de energia potencial gravitacional igual a zero, ou seja, V g = 0 se y = 0 . Então:

V g = m g y

Temos então que achar esse valor de y .

A distância vertical de B até A é r + r cos ⁡ θ = r ( 1 + cos ⁡ θ ) . Então a altura de G em relação a B deve ser a metade, igual a r ( 1 + cos ⁡ θ ) / 2 . Então a altura y de G em relação a O vai ser:

y = r 1 + cos ⁡ θ 2 - r cos ⁡ θ = r 2 + r cos ⁡ θ 2 - r cos ⁡ θ

⇒ y = r 1 - cos ⁡ θ 2

A expressão para a energia potencial gravitacional é então:

V g = m g y = m g r 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 4

Somando V e l e V g , achamos a energia potencial total do sistema:

V = V e l + V g = k a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ - r - a 2 + m g r 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Vamos calcular a primeira e a segunda derivadas em relação a θ , que são as funções que devemos analisar para a estabilidade:

δ V δ θ = 2 k a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ - r - a - 2 a r sen ⁡ θ 2 a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ + m g r 2 sen ⁡ θ

= - 2 a r k 1 - r - a a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ sen ⁡ θ + m g r 2 sen ⁡ θ

Esse valor é de fato igual a zero para θ = 0 . Vamos então derivar novamente:

δ 2 V δ θ 2 = - 2 a r k 1 - r - a a 2 + r 2 - 2 a r cos ⁡ θ cos ⁡ θ

- 2 a r k 1 2 r - a a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ 3 / 2 - 2 a r sen ⁡ θ sen ⁡ θ + m g r 2 cos ⁡ θ  

= - 2 a r k 1 - r - a a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ cos ⁡ θ + 4 a 2 r 2 r - a k a 2 + r 2 + 2 a r cos ⁡ θ 3 / 2 sen 2 ⁡ θ + m g r 2 cos ⁡ θ

Para θ = 0 , nossa expressão é reduzida a:

δ 2 V δ θ 2 = - 2 a r k 1 - r - a a 2 + r 2 + 2 a r + m g r 2

= - 2 a r k 1 - r - a r + a + m g r 2

= - 2 a r k r + a - r + a r + a + m g r 2

= - 4 a 2 r k r + a + m g r 2

A estabilidade requer que a segunda derivada seja positiva. Então encontramos o valor máximo de k :

- 4 a 2 r k r + a + m g r 2 > 0

⇒ 4 a 2 r k r + a < m g r 2

⇒ k < m g r + a 8 a 2

Resposta

k m á x = m g r + a 8 a 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

48- Determine a altura máxima h da massa m para a qual o pêndulo invertido será estável na posição vertical mostrada. Cada uma das molas tem rigidez k e elas estão igualmente pré-comprimidas nessa pos
49- U m pequeno elevador industrial, acionado a pedal, está mostrado na figura. Existem quatro molas idênticas, duas de cada lado do eixo central. A rigidez de cada par de molas vale 2 k . Ao projetar
55- A conexão uniforme A B tem massa m e sua extremidade esquerda A desliza livremente no rasgo horizontal fixo. A extremidade B está presa ao êmbolo vertical, que comprime a mola quando B está presa
50- O sistema formado por uma barra leve articulada, a massa m da extremidade e a mola de rigidez k são mostrados em sua posição de equilíbrio. O parâmetro n é uma fração situada na faixa 0n1 . Mostre
51- Uma extremidade da mola de torção está presa ao chão em A e a outra extremidade está presa ao eixo em B . A rigidez a torção K da mola elástica é o torque necessário para torcer a mola de um ângul