Enunciado

O pêndulo de 1,5 kg oscila em relação ao eixo O - O e tem centro de massa em G . Quando θ = 0 , cada mola tem um alongamento inicial de 100 mm. Calcule a rigidez máxima k de cada uma das molas paralelas, aqual permitirá que o pêndulo esteja em equilíbrio estável na posição inferior, em θ = 0 .

Passo 1

Se representarmos a energia potencial V do sistema em função do ângulo θ , a condição para o equilíbrio estável é dada por:

d V d θ = 0 ;         d 2 V d θ 2 > 0

A energia potencial do sistema varia com a altura do centro de massa do pêndulo e do alongamento da mola. Vamos então encontrar a relação de V com θ , e depois aplicar as derivadas.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a energia potencial V 1 devida à mola em função de θ . Vamos definir que V 1 0 = 0 . Para θ = 0 , o comprimento total das molas é de 500 + 500 = 1000   m m , e o enunciado diz que o elongamento é de 100   m m . Então o comprimento da mola não alongado é:

x 0 = 900   m m = 0,9   m

Agora vamos calcular o tamanho total da mola para cada angulação:

Por Pitágoras, o comprimento total é:

x = 500 sen ⁡ θ 2 + 500 1 + cos ⁡ θ 2 = 500 sen 2 ⁡ θ + 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Como sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

x = 500 2 1 + cos ⁡ θ

Então o alongamento da mola é:

Δ x = x - x 0 = 500 2 1 + cos ⁡ θ - 900

Passando para metros:

Δ x = 0,5 2 1 + cos ⁡ θ - 0,9

A diferença de energia potencial elástica entre um alongamento Δ x = 0,5 2 1 + cos ⁡ θ - 0,9 e outro Δ x 0 = 0,1 é então:

Δ V 1 = V 1 θ - V 1 0 = 2 ⋅ 1 2 k Δ x 2 - 0,1 2

Como V 0 = 0 :

V ( θ ) = k 0,5 2 1 + cos ⁡ θ - 0,9 2 - 0,1 2

= k 0,25 × 2 1 + cos ⁡ θ - 2 × 0,9 × 0,5 2 1 + cos ⁡ θ + 0,81 - 0,01

⇒ V θ = k 1,3 + 0,5 cos ⁡ θ - 0,9 2 1 + cos ⁡ θ

Agora, para facilitar as contas, vamos usar uma relação trigonométrica do cosseno da metade do ângulo:

cos ⁡ θ 2 = 2 1 + cos ⁡ θ 2

Então:

V θ = k 1,5 + 0,5 cos ⁡ θ - 1,8 cos ⁡ θ 2

Passo 3

Agora calculamos a entergia potencial gravitacional V 2 ( θ ) do pêndulo. Vamos definir V 2 = 0 para uma altura h em relação à origem igual a zero ( θ = 90 ° ) . A altura h é dada por:

h = - 750 cos ⁡ θ

Ou, colocando em metros:

h = - 0,75 cos ⁡ θ

Então a energia potencial gravitacional é:

Δ V 2 = V 2 θ - V 2 ( 90 ° ) = m g ( h - 0 )

Como V 2 90 ° = 0 :

V 2 θ = - 0,75 m g cos ⁡ θ = - 0,75 × 1,5 × 9,81 cos ⁡ θ

V 2 θ = - 11,03 cos ⁡ θ

Passo 4

A energia potencial total do sistema é então dada por:

V θ = V 1 θ + V 2 θ = k 1,3 + 0,5 cos ⁡ θ - 1,8 cos ⁡ θ 2 - 11,03 cos ⁡ θ

Derivamos a expressão em relação a θ :

d V d θ = - 0,5 k sen ⁡ θ - 1,8 k - 1 2 sen ⁡ θ 2 + 11,03 sen ⁡ θ

= 0,9 k sen ⁡ θ 2 + 11,03 - 0,5 k sen ⁡ θ

Derivando novamente:

d 2 V d θ 2 = 0,45 k cos ⁡ θ 2 + 11,03 - 0,5 k cos ⁡ θ

Queremos esses valores para θ = 0 ° . Temos então:

d V d θ = 0   ( i n d e p e n d e n t e   d o   v a l o r   d e   k )

d 2 V d θ 2 = 0,45 k + 11,03 - 0,5 k = 11,03 - 0,05 k

Como mencionado no Passo 1, as condições de equilíbrio estável são:

d V d θ = 0 ;   d 2 V d θ 2 > 0

A primeira condição já foi satisfeita. Para a segunda:

11,03 - 0,05 k > 0

⇒ 0,05 k < 11,03

⇒ k < 220,6

Logo, o valor máximo que k pode ter é k = 220,6   N / m

Resposta

k = 220,6   N / m

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