Enunciado

Um garfo é usado para mover a partícula lisa de 1 kg em torno da trajetória no formato de um limaçon (caracol de Pascal), r = 0,3 ( 2 + cos ⁡ θ ) m. Se θ = ( 0,5 t 2 ) rad, onde t é dado em segundos, determine a força que o garfo exerce sobre a partícula no instante t = 1 s. O garfo e a trajetória contatam a partícula somente em um lado.

Passo 1

O Problema nos deu as seguintes informações:

Massa de partícula: m = 1   k g

Ângulo: θ = 0,5 t 2   r a d

A questão pede para determinarmos a força exercida pelo garfo sobre a partícula no instante t = 1 s.

Em t = 1 , temos que θ = 0,5 rad.

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde N é a força normal e F é a força exercida pela barra.

Passo 2

Sabemos que a trajetória é definida por

r = 0,3 2 + cos ⁡ θ

Portanto, as derivadas temporais em r são:

r ˙ = d r d t = - 0,3 θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,3 θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 0,3 θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

As derivadas temporais em r são:

θ ˙ = t   r a d / s

θ ¨ = 1   r a d / s 2  

Em t = 1 , temos que θ = 0,5   r a d = 28,65 °

Para   θ = 28,65 ° :

r = 0,863   m

r ˙ = d r d t = - 0,144   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 0,407   m / s 2

θ ˙ = 1   r a d / s

θ ¨ = 1   r a d / s 2  

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 0,407 - 0,863 ( 1 2 ) = - 1,27   m / s 2

a θ = 0,863 1 + 2 - 0,144 ( 1 ) = 0,575   m / s 2

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal N é aplicada à partícula.

Visto que a trajetória já está especificada, o ângulo ψ que a linha radial deformada r forma com a tangente pode ser determinado pela equação

tan ⁡ ψ = r d r / d θ

Temos que r = 0,3 2 + cos ⁡ θ , logo

d r d θ = - 0,3 sen ⁡ θ

Portanto, para θ = 60 ° , temos que

tan ⁡ ψ = r d r d θ   = 0,3 2 + cos ⁡ θ - 0,3 sen ⁡ θ = - 6

ψ = - 80,54 °

N atua perpendicular à tangente à curva em θ = 60 ° . Logo, o ângulo α entre a força N e o eixo r é igual à

α = 90 ° - ψ = 9,46 °

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ α = m a r

N cos ⁡ 9,46 ° = ( 1 ) - 1,27

N = - 1,29 N

Analisando no eixo θ , temos que

∑ F θ = m a θ

F + N sen ⁡ α = m a θ

F = 1 0,576 - - 1,29 sen ⁡ 9,46 °

F = 0,79 N

O sinal negativo de N indica que esta força está agindo na mesma direção, porém no sentido contrário ao desenhado no diagrama de corpo livre.

Resposta

F = 0,79   N

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