Enunciado

Se a posição do anel C de 3 kg na barra lisa A B é mantida em r = 720 mm, determine a velocidade angular constante θ ˙ na qual o mecanismo está girando em torno do eixo vertical. A mola tem um comprimento não deformado de 400 mm. Despreze a massa da barra e a dimensão do anel.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do anel C : m = 3   k g

Posição fixa do anel: r = 720   m m = 0,72   m

Posição fixa do anel: z = 30 0   m m = 0,30   m

Comprimento não deformado da mola: l 0 = 400   m m = 0,4 m

Constante elástica da mola: k = 200   N / m

Portanto, temos que r , z e θ ˙ são constantes, ou seja, não variam no tempo.

Desenhamos o diagrama de corpo livre do anel C .

Onde W = m g é a força peso, g = 9,81   m / s 2 , N é a força normal e F s é a força elástica.

A partir destes dados, devemos encontrar a velocidade angular constante θ ˙ na qual o mecanismo está girando.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais.

Como r , z e θ ˙ são constantes, obtemos os seguintes valores:

r ˙ = r ¨ = 0  

z ˙ = z ¨ = 0  

θ ¨ = 0  

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração do anel nas coordenadas r , θ e z são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a z = z ¨

Logo,

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0 - 0,72 θ ˙ 2 = - 0,72 θ ˙ 2   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0   m / s 2

a z = z ¨ = 0   m / s 2

Passo 4

Sabemos que a força elástica é dada pela seguinte fórmula:

F s = k ∆ l

Precisamos encontrar o comprimento final da mola e o ângulo α com que esta força está sendo aplicado no anel. Analisando a situação geometricamente, temos

Sabemos que

l = r 2 + z 2

l = 0,72 2 + 0,3 2 = 0,78 m

Portanto,

F s = k ∆ l = 200 0,78 - 0,4 = 76   N

Agora vamos encontrar o valor de α :

tan ⁡ α = 0,3 0,72 = 0,4167

α = 22,62 °

Passo 5

Agora aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

- F s cos ⁡ α = m - 0,72 θ ˙ 2

θ ˙ 2 = F s cos ⁡ α 0,72 m = 76 cos ⁡ 22,62 ° 0,72 ( 3 ) = 32,48

θ ˙ = 5,70   r a d / s

Resposta

θ ˙ = 5,70   r a d / s

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