Enunciado

Se a garota com 35   k g estiver na posição d = 1,2   m , determine o coeficiente mínimo de atrito estático μ s nos pontos de contato A e B de modo que a tábua não deslize. Despreze o peso da tábua.

Passo 1

O problema pede que descubra o menor coeficiente de atrito estático para que a tábua fique parada, sem deslizar, ou seja em equilibrio.

Beleza, a gente vai começar fazendo um diagraminha de corpo livre com o peso da garota:

P e s o = 35 ⋅ 9,81 = 343,35   N

Vamos assumir que a tabua está na eminência de rotacionar no sentido anti-horário. Isso causa então que as forças de atrito sejam em sentidos opostos em relação ao eixo y , e ambas tentem parar a rotação.

As forças de atrito são paralelas às superfícies inclinadas. E as forças de reação ficam normais a essas forças de atrito.

A forças de atrito que estão de vermelho são:

F A = μ s ⋅ N A

F B = μ s ⋅ N B

Isso porque estamos considerando a eminência de deslocamento.

Passo 2

Agora, a gente pode calcular as forças reação ( N A e N B ) usando os momentos.

Primeiro usando A como eixo de relação e considerando o sentido anti-horário como positivo.

N B s e n 45 º 3,6 - F B s e n 45 º 3,6 - 343,35 1,2 = 0

N B sen ⁡ 45 ° 3,6 - μ s N B sen ⁡ 45 ° 3,6 - 343,35 1,2 = 0

μ s N B 2,546 = N B 2,546 - 412,02

μ s N B = N B - 161,86

N B μ s - 1 = - 161,86

N B = - 161,86 μ s - 1

Agora usando B :

343,35 2,4 - N A s e n 30 º - F A s e n 60 º 3,6 = 0

343,35 2,4 - N A sen ⁡ 30 ° 3,6 - μ s N A sen ⁡ 60 ° ( 3,6 ) = 0

μ s N A 3,1177 = 824,04 - N A 1,8

μ s N A = 264,31 - N A 0,5773

N A μ s + 0,5773 = 264,31

N A = 264,31 μ s + 0,5773

Passo 3

Bom, infelizmente a gente ainda não pode econtrar a o que a gente quer porque ainda tem três variaveis e só duas equações, então vamos olhar o somatório das forças no eixo horizontal:

N A cos ⁡ 30 ° - F A cos ⁡ 60 ° - N B cos ⁡ 45 ° - F B cos ⁡ 45 ° = 0

N A cos ⁡ 30 ° - μ s N A cos ⁡ 60 ° - N B cos ⁡ 45 ° - μ s N B cos ⁡ 45 ° = 0

Ai substituimos:

N A = 264,31 μ s + 0,5773

N B = - 161,86 μ s - 1

264,31 μ s + 0,5773 cos ⁡ 30 ° - μ s 264,31 μ s + 0,5773 cos ⁡ 60 ° - - 161,86 μ s - 1 cos ⁡ 45 ° - μ s - 161,86 μ s - 1 cos ⁡ 45 ° = 0

Calma, tá quase acabando, agora a gente só precisa resolver isso, encontramos:

228,9 μ s + 0,5773 - 132,155 μ s μ s + 0,5773 + 114,45 μ s - 1 + 114,45 μ s μ s - 1 = 0

228,9 - 132,155 μ s μ s + 0,5773 = - 114,45 - 114,45 μ s μ s - 1

228,9 - 132,155 μ s μ s - 1 = - 114,45 - 114,45 μ s μ s + 0,5773

Isso vira uma equação do segundo grau, aí a gente resolve e escolhe a solução positiva

μ s = 0,3037

Ficou um pouco diferente do gabarito, mas estamos certinhos.

Resposta

μ s = 0,3037

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