Enunciado

Um garoto em A tenta jogar uma bola sobre o telhado de um celeiro de tal maneira que ela é lançada em um ângulo de θ A = 40 ° . Determine a velocidade mínima v A que ele deve jogar a bola de maneira que ela alcance sua altura máxima em C. Também, encontre a distância d onde o garoto deve ficar parado de maneira que ele possa fazer o lançamento.

Passo 1

Temos um problema de lançamento oblíquo. Podemos dividir este problema em dois outros problemas: um no eixo x e outro no eixo y . No eixo x a velocidade é constante e no eixo y a partícula está sujeita a ação da gravidade. Portanto, vamos analisar cada caso separadamente!

Então, para o eixo x vamos utilizar as equações do movimento uniforme:

y = y 0 + v x t

Enquanto para o movimento no eixo y vamos utilizar as equações do movimento uniformemente variado:

y = y 0 + v 0 y t + a t 2 2

Passo 2

Vamos analisar inicialmente o seu deslocamento no eixo y . Mas calma lá, muito cuidado nesta hora!!! A posição final da bola será y = 8   m . E a posição inicial? y 0 = 0   m ??? Não! A resposta é simples e clara, não! Olhem o desenho com calma e percebam que y 0 = 1   m . Isto é, a bola não parte do solo. Agora sim, utilizando as equações da cinemática, temos:

y = y 0 + v 0 y t + a t 2 2

Vale lembrar também que temos que decompor a velocidade da seguinte forma:

v 0 y = v A s e n ( 40 ° )

Agora podemos substituir na equação:

8 = 1 + v A ⋅ sen ⁡ θ A ⋅ t - g t 2 2

Perceba que a aceleração da gravidade está com sinal negativo porque ela é contrária ou movimento inicial da bola! Voltando:

7 = v A ⋅ sen ⁡ 40 ° t - 4,905 ⋅ t 2

Bom, chegamos em uma equação que relaciona a velocidade v A com o tempo t . Precisamos então determinar outra equação para poder resolver esse nosso problema.

Passo 3

A chave para esta pergunta está no enunciado da questão. A bola atinge altura máxima em C. Se ele atinge altura máxima, nessa altura máxima sua velocidade em y é nula, portanto podemos utilizar a equação da velocidade em y :

v y = v 0 y - g t

0 = v A ⋅ sen ⁡ 40 ° - g t

t = v A   . s e n 40 ° g

t = v A   . s e n 40 ° 9,81

t = 0,0655 v A

Então temos, agora, mais uma equação com as mesmas incógnitas da anterior. Podemos realizar a substituição.

Passo 4

Substituindo esta relação na equação do Passo 1, teremos as duas equações:

7 = v A ⋅ sen ⁡ 40 ° t - 4,905 ⋅ t 2

t = 0,0655 v A

Agora vamos realizar a substituição:

7 = v A ⋅ sen ⁡ 40 ° ( 0,0655 v A ) - 4,905 ⋅ ( 0,0655 v A ) 2

7 = 0,042 v A 2 - 0,321 v A 2

0,021 v A 2 = 7

v A = 18,23   m / s

Com este valor da velocidade, podemos calcular o tempo:

t = 0,0655 v A

t = 0,0655 × 18,23 = 1,194   s

Passo 5

Para calcularmos a distância d, basta utilizarmos o valor de t = 1,194   s na equação da posição da bola no eixo x . Portanto, temos:

x = x 0 + v x t

( d + 4 ) = 0 + v A ⋅ cos ⁡ 40 ° ⋅ 1,194

( d + 4 ) = 0 + 18,23   ⋅ cos ⁡ 40 ° ⋅ 1,194

d = 16,67 - 4

d = 12,67   m

Resposta

v A = 18,23   m / s

d = 12,67   m

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