Enunciado

O haste esbelta de massa m e comprimento l é liberada a partir do repouso na posição vertical com o pequeno rolete na extremidade a apoiado sobre o plano inclinado. Determine a aceleração inicial de A .

Passo 1

Vamos começar fazendo um esquema das forças externas que agem sobre a haste:

Vamos começar escrevendo uma equação de momentos em relação ao ponto A . Quando escolhemos esse ponto, o momento das duas forças ( m g e N ) são nulos, porque as linhas de ação de ambas cruzam o ponto A .

Então:

∑ M A = I - α + ∑ m a - d = 0

O momento de inércia I - da haste em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é:

I - = 1 12 m l 2

E para escrever o segundo termo da equação vamos precisar de uma análise mais cuidadosa.

Passo 2

Conforme a haste desce pelo plano inclinado, o seu centro de massa adquire certas acelerações.

A primeira é a aceleração a A que queremos calcular, associada à translação do centro de massa, que aponta no sentido que desce o plano inclinado.

A segunda é a aceleração associada à rotação do centro de massa em torno do ponto A , que aponta na direção tangencial à trajetória:

a r o t = - α r - = - α l 2

Onde l 2 é a distância entre o ponto A e o centro de massa.

Então o nosso somatório fica da seguinte forma:

∑ m a - d = m α l 2 l 2 - m a A l 2 cos ⁡ θ

E nesse último termo surge o cos ⁡ θ porque d é a distância perpendicular entre o centro de massa e a linha de ação da aceleração a A , que é inclinada em relação à horizontal por um ângulo θ .

Juntando todas essas informações:

I - α + ∑ m a - d = 0

1 12 m l 2 α + m α l 2 4 - m a A l cos ⁡ θ 2 = 0

Podemos dividir tudo por m l para simplificar, e depois multiplicar por 12 :

4 l α - 6 a A cos ⁡ θ = 0

Ok, essa é nossa primeira equação. Como temos duas variáveis desconhecidas ( α e a A ), precisamos de mais uma equação para poder resolver o problema.

Passo 3

Vamos usar a segunda lei de Newton para obter nossa segunda equação.

∑ F x = m a - x

Onde x é a direção paralela ao plano inclinado (não é a horizontal!).

A única força que age nessa força é uma componente da força peso:

∑ F x = m g sen ⁡ θ

A aceleração de translação a A é paralela à essa direção, e a aceleração de rotação em torno de A aponta (no momento do desenho) na direção horizontal para a esquerda, que forma um ângulo θ com a nosa direção x , ou seja:

m a - x = m a A - α l 2 cos ⁡ θ

Então:

m g sen ⁡ θ = m a A - α l 2 cos ⁡ θ

g sen ⁡ θ = a A - α l 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Agora ficamos com um sistema de duas equações:

g sen ⁡ θ = a A - α l 2 cos ⁡ θ 4 l α - 6 a A cos ⁡ θ = 0

Vamos isolar α na equação de baixo:

α = 6 a A cos ⁡ θ 4 l

E substituir isso na equação de cima:

g sen ⁡ θ = a A - 6 a A cos ⁡ θ 4 l l 2 cos ⁡ θ

g sen ⁡ θ = a A 1 - 6 8 cos 2 ⁡ θ

E então:

a A = g sen ⁡ θ 1 - 3 4 cos 2 ⁡ θ

Resposta

A aceleração inicial é a A = g sen ⁡ θ 1 - 3 4 cos 2 ⁡ θ .

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