Enunciado

Pequenos roletes sobre rolamentos montados nas extremidades da barra esbelta de massa m e comprimento l limitam o movimento da barra nas ranhuras horizontais x - y . Se um momento M é aplicado à barra, inicialmente em repouso em θ = 45 ° , determine as forças exercidas sobre os roletes em A e B , quando a barra começa a se mover.

Passo 1

Vamos começar procurando a aceleração angular do sistema. Para isso precisamos montar uma equação de momentos:

∑ M X = I - α + m a - d

Onde X é um ponto de referência que precisamos escolher. Qual é a melhor opção para esse caso?

Bom, nós não conhecemos as forças em A e B ainda, então seria uma boa ideia escolher um ponto que anule essas duas forças:

Quando desenhamos as linhas de ação das forças, fica claro que o ponto C cumpre essa função.

Passo 2

Então vamos desenvolver aquela equação:

∑ M C = I - α + m a - d

O único momento (em relação ao ponto C ) que sobrevive à nossa escolha será o momento M que age no centro da barra:

∑ M C = M

O momento de inércia em relação ao centro de massa da barra é:

I - = 1 12 m l 2

E se considerarmos que a aceleração de A em relação a B (ou vice-versa) é l α , a aceleração do centro de massa que fica exatamente no meio do caminho entre os dois pontos será:

a - = l α 2

E o centro de massa está a uma distância perpendicular l / 2 do ponto C (metade do lado do quadrado). Então:

M = 1 12 m l 2 α + m l α 2 l 2

M m l 2 = α 1 12 + 1 4

α = 3 M m l 2

Passo 3

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton nas duas direções. Antes, é interessante incluir a aceleração do centro de massa no nosso desenho:

O ângulo θ vale 45 ° no instante que estamos estudando. Começamos pela direção horizontal:

∑ F x = m a - x

F A = m a - cos ⁡ 45 °

F A = m l 2 α cos ⁡ 45 ° = m l 2 3 M m l 2 cos ⁡ 45 °

F A = 3 M 2 l 2

Que também podemos representar em forma vetorial, de acordo com o nosso desenho:

F → A = 3 M 2 l 2 i ^

E agora a direção vertical:

∑ F y = m a - y

F B = - m a - sen ⁡ 45 °

F B = - m l 2 α sen ⁡ 45 ° = - m l 2 3 M m l 2 sen ⁡ 45 °

F B = - 3 M 2 l 2

E o sinal negativo indica que o verdadeiro sentido da força F B é contrário ao que nós representamos no desenho, então sua representação vetorial é:

F → B = - 3 M 2 l 2 j ^

Resposta

As forças são F → A = 3 M 2 l 2 i ^ e F → B = - 3 M 2 l 2 j ^ .

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