Enunciado

A haste horizontal é sustentada pelos cabos A B e C D e por uma rótula em O . Para determinar a influência da posição da carga vertical L ao longo da haste sobre a reação em O , podemos desprezar o peso da haste. Se R representa o módulo da força total em O , determine a menor razão R / L e o valor correspondente de x . Escreva, então, um programa de computador para R / L e trace o gráfico dos resultados para 0 < x < 6   m , como uma verificação dos seus cálculos.

Passo 1

Vamos começar escrevendo as trações nos cabos A B e C D na forma vetorial. Para isso vamos precisar dos escalares T A B e T C D e dos vetores unitários nas direções de cada um desses.

T → A B = T A B A B ^ = T A B - 6   i ^ - 2   j ^ + 3   k ^ 6 2 + 2 2 + 3 2 = T A B 7 - 6   i ^ - 2   j ^ + 3   k ^

T → C D = T C D C D ^ = T C D ( - 3   i ^ + 4   j ^ ) 3 2 + 4 2 = T C D 5 - 3   i ^ + 4   j ^

E vamos também escrever os vetores das posições dos pontos em que cada uma dessas forças atuam:

r → 1 = O A → = 6   i ^

r → 2 = O C → = 3   i ^

Além disso temos a força L → = - L k ^ agindo no ponto de posição r → 3 = x   i ^ e a força R total agindo em O .

Passo 2

Agora vamos usar esses vetores para escrever o momento total do sistema em relação a origem:

∑ M → O = 0

∑ M → O = r → 1 × T → A B + r → 2 × T → C D + r → 3 × L →

E vamos escrever esses produtos vetoriais como determinantes de matrizes:

i ^ j ^ k ^ 6 0 0 - 6 7 T A B - 2 7 T A B 3 7 T A B + i ^ j ^ k ^ 3 0 0 - 3 5 T C D 4 5 T C D 0 + i ^ j ^ k ^ x 0 0 0 0 - L = 0

- 12 7 T A B k ^ - 18 7 T A B j ^ + 12 5 T C D k ^ + L x   j ^ = 0

E agora vamos igualar cada componente a zero:

18 7 T A B = L x         ⇒           T A B = 7 18 L x

12 5 T C D = 12 7 T A B         ⇒           T C D = 5 7 7 18 L x = 5 18 L x

Passo 3

Agora vamos considerar a condição de equilíbrio das forças agindo em cada direção, lembrando que agora as componentes R x , R y e R z têm que ser levadas em consideração:

∑ F x = R x - 3 5 T C D - 6 7 T A B = 0

∑ F y = R y + 4 5 T C D - 2 7 T A B = 0

∑ F z = R z - L + 3 7 T A B = 0

Agora é só substituir os resultados que encontramos para T A B e T C D e isolar cada componente de R :

R x = 6 7 7 18   L x + 3 5 5 18   L x = 1 2 L x

R y = 2 7 7 18 L x - 4 5 5 18 L x = - 1 9 L x

R z = L - 3 7 7 18   L x = L 1 - 1 6 x

E então podemos calcular o módulo de R :

R = R x 2 + R y 2 + R z 2

R = 1 4 L 2 x 2 + 1 81 L 2 x 2 + L 2 1 - 1 6 x 2

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar R / L . Isolando na equação de cima ficamos com o seguinte:

R L = 1 4 x 2 + 1 81 x 2 + 1 - 1 6 x 2

E com isso queremos encontrar o valor mínimo de R / L em função de x e fazer o gráfico dessa função no intervalo 0 < x < 6   m . Vamos começar com o gráfico, que já resolve os dois problemas:

E vamos aproveitar esse gráfico para localizar o ponto de mínimo no intervalo definido:

R L m í n = 0,951   m

x m í n = 0,574   m

Passo 5

Também podemos encontrar R L m í n usando métodos de cálculo. Vamos procurar os pontos críticos da função R / L (ou, de forma equivalente, os de R L 2 ):

R L 2 = 1 4 x 2 + 1 81 x 2 + 1 - 1 6 x 2

Derivando e igualando a zero:

d d x R L 2 = 1 2 x + 2 81 x + 2 1 - 1 6 x - 1 6

d d x R L 2 = 47 x 81 - 1 3 = 0

x m í n = 0,574   m

Que é o mesmo resultado de antes.

Resposta

x m í n = 0,574     m e R L m í n = 0,951   m .

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Determine a força desenvolvida nas cordas B D ,C EeC F e as reações da junta esférica A sobre o bloco.
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Determine as reações de apoio nos mancais radiais lisos A ,BeC da tubulação.
A barra é sustentada por mancais radiais lisos em A ,BeC e está sueita às duas forças. Determine as reações nesses apoios
Determine as reações no apoio de rolete A e na junta esférica D e determine a tração no cabo B C para a placa.