Enunciado

A haste leve e as pequenas esferas vinculadas, cada uma de massa m , são apresentadas na posição de equilíbrio, onde todas as quatro molas estão igualmente pré-comprimidas. Determine a frequência natural ω n e o período τ para pequenas oscilações em torno do pino O sem atrito.

Passo 1

Para esse problema vamos usar as relações de torque resultante como também os conceitos de período e de frequência.

Passo 2

Vamos começar analisando o problema: temos que as forças que agem nesse sistema são as forças elásticas causadas pelas molas, sempre funcionando em pares, logo quando o sistema se move temos que o torque resultante será duas vezes a força aplicada. Assim, temos que

∑ M o = - 4 ⋅ k ⋅ L ⋅ sin ⁡ θ ⋅ L ⋅ cos ⁡ θ = I o ⋅ θ ¨

Onde L ⋅ cos ⁡ θ é a distância vertical de onde está sendo aplicada a força. Como se trata de uma haste, temos que seu momento de inércia é I o = 2 ⋅ m ⋅ L 2 . Portanto, temos que nossa equação fica

- 4 ⋅ k ⋅ L 2 ⋅ sin ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ = - 2 ⋅ k ⋅ L ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ θ = 2 ⋅ m ⋅ θ ¨

Para pequenos ângulos, temos que sin ⁡ 2 ⋅ θ ≈ 2 ⋅ θ . Assim, ficamos com a equação da seguinte forma

θ ¨ + 2 ⋅ k m ⋅ θ = 0

Lembrando uma equação de um oscilador harmônico, onde sua equação é dada por x ¨ + ω ⋅ x = 0 . Sendo ω sua frequência dada por ω = k / m . Logo, por ser similar, temos que nossa frequência será

ω n = 2 ⋅ k m

Passo 3

Temos que o período é dado por τ = 2 ⋅ π ω n . Assim, temos que nosso período será

τ = 2 ⋅ π ⋅ m 2 ⋅ k = π ⋅ 2 ⋅ m k

Resposta

ω n = 2 ⋅ k m

τ = π ⋅ 2 ⋅ m k

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