Enunciado

A posição de equilíbrio da massa m ocorre quando y = 0 e y B = 0 . Quando a peça B recebe um movimento vertical permanente y B = b sen ⁡ ω t , a massa m adquire uma oscilação vertical permanente. Desenvolva a equação diferencial do movimento para m e especifique a frequência circular ω c para a qual as oscilações de m tendem a se tornar excessivamente grandes. A rigidez da mola é k , e a massa e o atrito da polia são desprezíveis.

Passo 1

Uma massa é sustentada por cordas em uma polia. Uma das extremidades da corda está fixa, e a outra está presa a uma mola. Já a mola, possui uma base móvel.

Dados da questão:

  • Massa: m .
  • Rigidez da mola: k
  • Movimento da extremidade superior da mola: y B = b sen ⁡ ω t .

Queremos uma equação que defina o movimento da massa com todos esses elementos interagindo. Vai ser bem tranquilo! Primeiro passo vai ser identificar quem são as forças atuando na massa.

Depois a gente vai procurar a frequência que faz as oscilações serem extremamente grandes

Passo 2

Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento y qualquer. Vamos usar como referência a posição de equilíbrio e considerar o movimento para baixo como positivo!

A partir disso a gente desenha o diagrama de corpo livre.

O peso P = m g da massa a puxa para baixo. A polia divide igualmente a tração nas cordas. Se chamarmos a força em uma das cordas de T , então temos T + T = 2 T segurando a massa!

Vamos ver como fica a equação da dinâmica para a massa:

∑ F e x t = m   a

A aceleração a   vai ser a segunda derivada do deslocamento no tempo: a = y ¨ . Coloque as forças externas na equação. Atenção ao sinal! A P está no sentido de y , e 2 T está contrário.

P - 2 T = m y ¨

m g - 2 T = m y ¨

Ok, precisamos entender quem é esse T então.

Assumimos que o conjunto em y = 0 está na posição de equilíbrio quando a base da mola também é y B = 0 . Então já de cara, aí tem uma deformação inicial da mola! Vai ser a deformação necessária para o equilíbrio!

∑ F e x t = 0

P - 2 T e q u i l í b r i o = 0

T e q u i l í b r i o = m g 2

Essa é a tração para o equilíbrio! Vamos ver como é a tração T quando temos dinâmica (tudo se movendo)!

Passo 3

Vejamos a corda da direita, onde a mola está. A extremidade inferior da corda é puxada pelo T , como assumimos! A extremidade superior é um pouquinho mais complicada.

A mola inicialmente já está deformada o suficiente para gerar T e q u i l í b r i o = m g / 2 . Aí com o movimento ela vai deformar mais!

A massa vai mover a extremidade inferior da mola um comprimento y m para baixo. Mas a extremidade superior dessa mola vai também mover para baixo segundo y B .

Lembre-se que falamos que a mola gera uma força para resistir uma extremidade se movimentando em relação a outra! Então não importa se a mola anda como um todo, o que importa é o quanto uma extremidade moveu em relação a outra!

A deflexão (positiva!) dessa mola é

δ = y m - y B

Esse δ é o quanto a mola deformou para baixo! Então ela resiste com uma força para cima! Essa força vai ser

F k = k ( y m - y B )

Ótimo! Queríamos uma força para cima mesmo (Passo 2 ). Mas quem é esse y m ? Não é o movimento y da massa? Não!!

Olha para a próxima figura e considere que a gente tem corda o suficiente. Vamos descer a polia um comprimento y (movimento da massa!), e aí o pontinho vermelho vai se mover y m . Veja que o pontinho vermelho precisa andar duas vezes o valor de y ! Ele desce y e sobe y do outro lado!

Então:

y m = 2 y

Finalmente podemos juntar isso tudo para saber a tração na corda!

T =   T e q u i l í b r i o + F k

T = m g 2 + k ( 2 y - y B )

Agora a gente volta para nossa equação da dinâmica.

Passo 4

m g - 2 T = m y ¨

m g - 2 m g 2 + k 2 y - y B = m y ¨

E substituindo y B = b sen ⁡ ω t :

y ¨ + 4 k m y = 2 k b m   sen ⁡ ω t

Achamos a equação!

E qual é a frequência crítica ω c que ω deve assumir para causar grandes oscilações? Essa frequência é a que gera ressonância!

Ressonância acontece quando a frequência ω do forçamento se aproxima da frequência natural ω n do sistema.

Relembre a equação habitual

y ¨ + 2 ξ ω n y ˙ + ω n 2 y = F 0 m sin ⁡ ω t

Comparando,

ω n 2 = 4 k m

ω c = ω n = 2 k m

Resposta

Equação do movimento:

y ¨ + 4 k m y = 2 k b m   sen ⁡ ω t

Frequência de ressonância:

ω C = 2 k m

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