Enunciado

A haste uniforme A D tem 20   k g de massa. Se a mola conectada não está deformada quando θ = 90 ° , determine o ângulo θ para haver equilíbrio. Observe que a mola sempre permanece na posição vertical, em virtude da guia de rolete. Investigue a estabilidade da haste quando ela está na posição de equilíbrio.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar se para a condição de equilíbrio da haste ela está estável também. O sistema é composto pela haste A D de massa igual a 20   k g e a mola C conectada em B de constante k = 2   k N / m .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Vamos começar a calcular a energia potencial do corpo

V = V e + V g                     1

Onde

V e está a energia potencial elástica.

V g e a energia potencial gravitacional.

Vamos calcular o comprimento da mola x .

x = 0.5 cos ⁡ θ

Vamos calcular a energia potencial elástica

V e = 1 2 k x 2

Substituindo os dados númericos

V e = 1 2 k x 2

V e = 1 2 × 2000 × ( 0.5 cos ⁡ θ ) 2

V e = 250 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso da haste e a força exercida pela mola, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = W y + 1 2 k s 2

V = 196,2 * 0,75 cos ⁡ θ + 1 2 * 2 * 10 3 * 0,5 cos ⁡ θ 2

V = 250 cos 2 ⁡ θ + 147,15 cos ⁡ θ

Passo 3

Beleza, agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 250 cos 2 ⁡ θ - 147,15 cos ⁡ θ = 0

- 147,15 sen ⁡ θ - 500 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 0

Daqui já temos que θ 1 = 0 , pois sen ⁡ 0 = 0 . Continuando resolvendo a equação:

500 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - 147,15 sen ⁡ θ

500 cos ⁡ θ sen ⁡ θ sen ⁡ θ = 147,15

cos ⁡ θ = 147,15 500

θ = cos - 1 ⁡ 147,15 500

θ = 72.88 °

Passo 4

Até aqui tranquilinho né? Nos determinamos os valores de θ para os quais a estrutura está em equilíbrio. Para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 147,15 cos ⁡ θ + 250 cos 2 ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = d d θ - 500 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + 147,15 sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 500 ( cos ⁡ 2 θ ) + 147,15 cos ⁡ θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ 1 = 72.88 ° :

d 2 V d θ 2 = - 500 ( cos ⁡ 2 θ ) + 147,15 cos ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 500 cos ⁡ 145.76 ° + 147,15 cos ⁡ 72.88 °

d 2 V d θ 2 = 456.46 d 2 V d θ 2 > 0  

Portanto, o sistema está em equilíbrio estável em 72.88 ° .

Passo 5

Já para a posição de equilíbrio com θ 2 = 0 ° :

d 2 V d θ 2 = - 500 ( cos ⁡ 2 θ ) + 147,15 cos ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 500 ( cos ⁡ 0 ° ) + 147,15 cos ⁡ 0 °

d 2 V d θ 2 = - 352.5 d 2 V d θ 2 > 0  

Portanto, o sistema está em equilíbrio instável em 0 ° .

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ 1 = 72.88 °   : e m   e q u i l i b r i o   e   e s t á v e l

θ 2 = 0 ° : e m   e q u i l i b r i o ,   p o r é m   i n s t á v e l

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Determine o valor do ângulo θ para equilíbrio se β = 30 ,P = Q = 400 N .
Determine o valor do ângulo θ para equilíbrio se β = 30 ,P = 100 NeQ = 25 N .
No problema 10.40, determnine a estabilidade das posições de equilíbrio.
Sabendo que a mola é indeformada quando as barras estão na vertical, determine o intervalo de valores para P tal que a posição θ 1 = θ 2 = 0 seja estável.
Saendo que a engrenagem da barra AB pesa 36N e a da barra CD pesa 18N, determine as posições de equilíbrio do sistema e determine em cada caso a estabilidade do equilíbrio: