Enunciado

A haste uniforme tem massa de 100   k g . Se a mola não estiver deformada quando θ = 60 ° , determine o ângulo θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade na posição de equilíbrio. A mola sempre está na posição horizontal em virtude da guia de rolete em B .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ necessário para que o corpo esteja em equilíbrio e, posteriormente, avaliar a estabilidade para essa posição. Considerando que a mola não está deformada quando θ = 60 ° .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde as distâncias x e y são:

x = 2 sen ⁡ 60 ° - 2 * 2 sen ⁡ θ

x = 1,732 - 4 sen ⁡ θ

y = 2 cos ⁡ θ

E o peso W da haste:

W = 100 * 9,81

W = 981   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso da haste e a força exercida pela mola, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = - W y + 1 2 k x 2

V = - 981 * 2 cos ⁡ θ + 1 2 * 500 * 1,732 - 4 sen ⁡ θ 2

V = - 1962 cos ⁡ θ + 1000 sen 2 ⁡ θ - 1732 sen ⁡ θ + 750

V = 1000 sen 2 ⁡ θ - 1732 sen ⁡ θ - 1962 cos ⁡ θ + 750

Passo 3

Agora que nós determinamos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 1000 sen 2 ⁡ θ - 1732 sen ⁡ θ - 1962 cos ⁡ θ + 750 = 0

2000 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 1732 cos ⁡ θ + 1962 sen ⁡ θ = 0

Resolvendo essa expressão encontramos:

θ = 24,6 °

Passo 4

Até aqui tudo certo né? Definimos o ângulo θ para que o sistema esteja em equilíbrio, para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 1000 sen 2 ⁡ θ - 1732 sen ⁡ θ - 1962 cos ⁡ θ + 750

d 2 V d θ 2 = d d θ 2000 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 1732 cos ⁡ θ + 1962 sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = 2000 cos ⁡ 2 θ + 1732 sen ⁡ θ + 1962 cos ⁡ θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ = 24,6 ° :

d 2 V d θ 2 = 2000 cos ⁡ 2 * 24,6 ° + 1732 sen ⁡ 24,6 ° + 1962 cos ⁡ 24,6 °

d 2 V d θ 2 = 3811,76 > 0

Logo, a estrutura está em equilíbrio e está estável.

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ = 24,6 °

E s t a v e l

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