Enunciado

Determine o ângulo θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade do mecanismo nessa posição. A mola tem rigidez k = 1,5   k N / m e não está deformada quando θ = 90 ° . O bloco A tem massa de 40   k g . Despreze a massa dos elementos de conexão.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ necessário para que o corpo esteja em equilíbrio e, posteriormente, avaliar a estabilidade para essa posição. Considerando que a mola tem rigidez k = 1,5   k N / m e não está deformada quando θ = 90 ° . Além disso, a massa do bloco A é 40   k g .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

A distância h é dada por:

h = 0,45 sen ⁡ θ + d

Onde d é uma constante pois a distância do centro de gravidade do bloco A à reta que liga os pontos B D é sempre a mesma.

Além disso, a deformação s da mola é:

s = 0,45 cos ⁡ θ

E o peso W do bloco A :

W = 40 * 9,81

W = 392,4   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso do bloco A e a força exercida pela mola, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = W h + 1 2 k s 2

V = 392,4 * 0,45 sen ⁡ θ + d + 1 2 1500 * 0,45 cos ⁡ θ 2

V = 176,58 sen ⁡ θ + 392,4 b + 151,875 cos 2 ⁡ θ

Passo 3

Beleza, agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 176,58 sen ⁡ θ + 392,4 b + 151,875 cos 2 ⁡ θ = 0

176,58 cos ⁡ θ - 303,75 cos ⁡ θ sen ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ 176,58 - 303,75 sen ⁡ θ = 0

Daqui já temos que θ 1 = 90 ° , pois cos ⁡ 90 ° = 0 . Continuando resolvendo a equação:

176,58 - 303,75 sen ⁡ θ = 0

303,75 sen ⁡ θ = 176,58

sen ⁡ θ = 176,58 303,75

θ 2 = sen - 1 ⁡ 176,58 303,75

θ 2 = 35,54 °

Passo 4

Até aqui tudo certo? Nós determinamos os valores de θ para os quais a estrutura está em equilíbrio. Para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 176,58 sen ⁡ θ + 392,4 b + 151,875 cos 2 ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = d d θ 176,58 cos ⁡ θ - 303,75 cos ⁡ θ sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 176,58 sen ⁡ θ - 303,75 cos ⁡ 2 θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ 1 = 90 ° :

d 2 V d θ 2 = - 176,58 sen ⁡ 90 ° - 303,75 cos ⁡ 2 * 90 °

d 2 V d θ 2 = 127,17 > 0

Logo, para θ 1 = 90 ° a estrutura está em equilíbrio e está estável.

Já para a posição de equilíbrio com θ 2 = 35,54 ° :

d 2 V d θ 2 = = - 176,58 sen ⁡ 35,54 ° - 303,75 cos ⁡ 2 * 35,54 °

d 2 V d θ 2 = - 201,12 < 0

Logo, para θ 2 = 35,54 ° a estrutura está em equilíbrio mas não está estável

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ 1 = 90 ° : e m   e q u i l i b r i o   e   e s t a v e l

θ 2 = 35,54 ° : e m   e q u i l i b r i o   m a s   i n s t a v e l

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