Enunciado

O homem de massa m 1 e a mulher de massa m 2 estão em pé sobre extremos opostos da plataforma de massa m 0 que se desloca com atrito desprezível e está inicialmente em repouso com s = 0 . O homem e a mulher começam a se aproximar um do outro. Desenvolva uma expressão para o deslocamento s da plataforma quando os dois se encontram em termos do deslocamento x 1 do homem em relação à plataforma.

Passo 1

Repare que as únicas forças agindo nesse caso são forças internas ao sistema. Por exemplo, o homem empurra o chão da plataforma para trás, e a plataforma reage empurrando-o para a frente, em direção à mulher.

Então, como não há forças externas, o centro de massa do sistema “plataforma-homem-mulher” relativo a um ponto fixo permanece constante. Sendo s = 0 esse ponto fixo, precisamos calcular a posição do centro de massa em relação a esse ponto quando o homem e a mulher estavam em extremos opostos da plataforma.

Para isso, perceba que a plataforma tem centro de massa em r 0 = l / 2 , o homem se encontra em r 1 = l , e a mulher, em r 2 = 0 :

x G = ∑ m i r i

x G = m 0 l 2 + m 1 l + m 2 0

x G = m 0 2 + m 1 l

Passo 2

Porém, quando o homem encontra a mulher, a nova posição do centro de massa da plataforma terá deslocado s para a direita:

r 0 = l 2 + s

O homem terá deslocado sua posição de x 1 para a esquerda, e também s para a direita por causa do movimento da plataforma:

r 1 = l - x 1 + s

Além disso, a mulher se desloca x 2 para a direita e s também para a direita:

r 2 = 0 + x 2 + s

r 2 = x 2 + s

Porém, como o homem e a mulher estão no mesmo ponto da plataforma, temos:

x 1 + x 2 = l

x 2 = l - x 1

E portanto:

r 2 = l - x 1 + s

Passo 3

Sabendo das novas localizações dos centros de massa de cada membro do sistema, podemos calcular o centro de massa do sistema e igualar ao que obtivemos inicialmente:

x G = ∑ m i r i

m 0 2 + m 1 l = m 0 l 2 + s + m 1 l - x 1 + s + m 2 l - x 1 + s

m 0 2 + m 1 l = m 0 2 + m 1 l + m 2 l - m 1 + m 2   x 1 + m 0 + m 1 + m 2   s

s = m 1 + m 2   x 1 - m 2 l m 0 + m 1 + m 2

Resposta

s = m 1 + m 2   x 1 - m 2 l m 0 + m 1 + m 2

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