Enunciado

No instante representado, suponha que a partícula P , que se move em uma trajetória curva, está a 80   m do pólo O e tem a velocidade v e a aceleração a conforme indicado. Determine os valores instantâneos de r ˙ , r ¨ , θ ˙ , θ ¨ , as componentes n e t da aceleração, e o raio de curvatura ρ .

Passo 1

Ok, são muitas informações, então vamos começar com o mais fácil: achar as componentes da velocidade e da aceleração nas direções de r e θ (conforme as linhas pontilhadas na figura):

a r = - a   . cos ⁡ 60 ° = - 8 0,5 = - 4,0   m / s 2

a θ = a   . sen ⁡ 60 ° = 8 3 2 = 6,9   m / s 2

Beleza, agora vamos fazer praticamente a mesma coisa, mas para a velocidade. A componente na direção de r vai ser a seguinte:

v r = v cos ⁡ 30 ° = 30 cos ⁡ 30 ° = 26,0   m / s

E a componente na direção de θ é:

v θ = v sen ⁡ 30 ° = 30 sen ⁡ 30 ° = 15,0   m / s

Beleza, então ficamos com as seguintes informações:

v r = 26,0   m / s v θ = 15,0   m / s                         a r = - 4,0   m / s 2 a θ = 6,9   m / s 2

Nosso objetivo é usar isso para calcular o que falta: r ˙ ,   r ¨ ,   θ ˙ ,   θ ¨ e ρ .

Passo 2

Ok, então vamos lembrar de algumas relações entre essas grandezas. Primeiro a velocidade:

v θ = r θ ˙

v r = r ˙

Essas fórmulas são bem intuitivas! A primeira diz que a v t é a velocidade com que o corpo gira com o ângulo θ , e a segunda diz que v n é a taxa em que o raio r muda!

Substituindo os valores numéricos:

26 = 80 θ ˙       ⇒           θ ˙ = 0,325   r a d / s

r ˙ = 15   m / s

E as fórmulas para as componentes da aceleração em coordenadas polares são:

a n = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Agora vamos substituir os números:

- 4 = r ¨ - 80 0,325 2         ⇒         r ¨ = 4,45   m / s 2

6,9 = 80 θ ¨ + 2 15 0,325     ⇒           θ ¨ = - 0,0356   r a d / s 2

Passo 3

Ótimo, agora só falta calcular o raio de curvatura da trajetória. Aqui é preciso tomar cuidado, porque você pode ter a intuição de fazer o seguinte:

a r = v 2 ρ

Mas isso não está certo! Essa fórmula vale para a a n , a aceleração normal à velocidade, e esse não é o caso da linha pontilhada r da figura.

Pela mesma lógica, o a θ que nós calculamos não é a aceleração tangencial a t , porque esta tem que ser paralela à velocidade, e esse não é o caso da linha pontilhada θ da figura!

Vamos desenhar os vetores que realmente queremos encontrar:

Agora sim, vamos projetar a aceleração a → nesses vetores vermelhos para encontrar os módulos:

a t = a cos ⁡ 60 ° = 8 1 2 = 4,0   m / s 2

a n = a cos ⁡ 30 ° = 8 3 2 = 6,9   m / s 2

Esse ângulo de 30 ° que usamos na expressão do a n é deduzido do fato de que a → n e a → t são perpendiculares, então é só subtrair aqueles dois ângulos de 30 ° do total de 90 ° .

Agora sim podemos aplicar aquela fórmula:

a n = v 2 ρ

6,9 = 30 2 ρ

ρ = 130   m

Pronto!

Resposta

Os valores instantâneos são r ˙ = 15   m / s , r ¨ = 4,45   m / s 2 , θ ˙ = 0,325   r a d / s e θ ¨ = - 0,0356   r a d / s 2 ; as componentes da aceleração são a t = 4,0   m / s 2 e a n = 6,9   m / s 2 ; e o raio de curvatura é ρ = 130   m .

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