Enunciado

Uma partícula tem as seguintes componentes de posição, velocidade e aceleração: x = 50   m , y = 25   m , x ˙ = - 10   m / s , y ˙ = 10   m / s , x ¨ = - 10   m / s ² , y ¨ = 5   m / s ² . Determine as seguintes grandezas: v , a , e → t , e → n , a t , a → t , a n , a → n , ρ , e → r , e → θ , v r , v → r , v θ , v → θ , a r , a → r , a θ , a → θ , r , r ˙ , r ¨ , θ , θ ˙ e θ ¨ . Expresse todos os vetores em termos de i → e j → , e faça um desenho de todos os vetores em um conjunto de eixos x - y conforme avança a solução.

Passo 1

Ok, essa é uma questão imensa, então vamos com calma. Primeiro vamos desenhar a situação inicial:

As linhas pontilhadas t e n indicam as direções tangencial e normal, respectivamente.

Passo 2

Vamos começar com o módulo da velocidade e da aceleração:

v =   x ˙ 2 + y ˙ 2 = - 10 2 + 10 2 ≅ 14,1   m / s

a = x ¨ 2 + y ¨ 2 = - 10 2 + 5 2 ≅ 11,2   m / s 2

E já podemos usar esse resultado para calcular o vetor unitário na direção tangencial. O jeito mais fácil de achar e → t é dividindo a velocidade pelo próprio módulo, porque isso vai dar um vetor unitário na mesma direção:

e → t = v → v = - 10   i ^ + 10   j ^ 14,1 = - 0,707   i ^ + 0,707   j ^

Passo 3

Agora que temos o vetor unitário na direção tangencial, podemos fazer o produto escalar dele com o vetor da aceleração para encontrar a t :

a t = a → ∙ e → t = ( - 10   i ^ + 5   j ^ ) ∙ - 0,707   i ^ + 0,707   j ^

a t = - 0,707 - 10 + 5 0,707 = 10,605   m / s 2

Esse é o módulo da aceleração tangencial, para encontrar o vetor é só multiplicar o módulo pelo e → t :

a → t = a t e → t = 10,605 - 0,707   i ^ + 0,707   j ^ = - 7,49   i ^ + 7,49   i ^ m / s 2

E agora podemos usar esse resultado para achar a outra componente da aceleração:

a → = a → t + a → n         ⇒           a → n = a → - a → t

a → n = - 10   i ^ + 5   j ^ - - 7,49   i ^ + 7,49   i ^ = - 2,51   i ^ - 2,49   j ^ m / s 2

E agora podemos calcular também o módulo desse vetor:

a n = - 2,51 2 + 2,49 2 = 3,54   m / s 2

Passo 4

Agora que temos o módulo da aceleração normal, podemos calcular o raio de curvatura:

a n = v 2 ρ

ρ = 14,1 2 ( 3,54 ) = 56,2   m

E também podemos usar o vetor da aceleração normal para calcular o vetor unitário na direção normal:

e → n = a → a = - 10   i ^ + 5   j ^ 11,2 = - 0,893   i ^ + 0,446   j ^

Passo 5

Agora vamos pensar em termos de coordenadas polares. Precisamos refazer nosso desenho:

Para encontrar os próximos valores vamos precisar dos vetores unitários nas direções das linhas pontilhadas θ e r :

e → r = r → r = 50   i ^ + 25   j ^ 50 2 + 25 2 = 0,894   i ^ + 0,447   j ^

E o vetor unitário na direção de θ é simplesmente o e → r rotacionado em 90 ° no sentido anti-horário:

e → θ = - 0,447   i ^ + 0,894   j ^

Agora a componente da velocidade na direção de r é simplesmente esse produto interno:

v r = v → ∙ e → r = - 10   i ^ + 10   j ^ ∙ 0,894   i ^ + 0,447   j ^ = - 4,47   m / s

E o vetor v → r é esse módulo multiplicado pelo vetor unitário e → r :

v → r = v t e → r = - 4,47 0,894   i ^ + 0,447   j ^ = - 4,00   i ^ - 2,00   j ^   m / s

E agora vamos fazer as mesmas contas para a componente na direção de θ :

v θ = v → ∙ e → θ = - 10   i ^ + 10   j ^ - 0,447   i ^ + 0,894   j ^ = 13,41   m / s

v → θ = v θ e → θ = 13,41   - 0,447   i ^ + 0,894   j ^ = - 6,00   i ^ + 12,0   j ^   m / s

Passo 6

Fazendo praticamente as mesmas contas para a aceleração, encontramos o seguinte:

Para a componente na direção de r :

a r = a → ∙ e → r = - 10   i ^ + 5   j ^ ∙ 0,894   i ^ + 0,447   j ^ = - 6,71   m / s 2

a → r = a r e → r = - 6,71 0,894   i ^ + 0,447   j ^ = - 6,00   i ^ - 3,00   j ^ m / s 2

E na direção de θ :

a θ = a → ∙ e → θ = - 10   i ^ + 5   j ^ ∙ - 0,447   i ^ + 0,894   j ^ = 8,94   m / s 2

a → θ = 8,94   - 0,447   i ^ + 0,894   j ^ = - 4,00   i ^ + 8,00   j ^ m / s 2

Passo 7

E agora fica faltando encontrar r ,   r ˙ ,   r ¨ , θ , θ ˙ e θ ¨ :

r = r → = 50 2 + 25 2 = 56,0   m

r ˙ = v r = - 4,47   m / s

θ = arctan ⁡ 25 50 = 26,6 °

θ ˙ = v θ r = 13,41 56,0 = 0,240   r a d / s

E a fórmula mais simples que envolve r ¨ é a da componente da aceleração na direção de r :

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

- 6,71 = r ¨ - 56 0,240 2

r ¨ = - 3,48   m   / s 2

E a que envolve θ ¨ é a da aceleração na direção de θ :

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

θ ¨ = 8,94 - ( 2 ) ( - 4,47 ) ( 0,240 ) 56 = 0,198   r a d / s 2

Ótimo, finalmente terminamos, agora só falta desenhar alguns dos vetores que ficaram faltando:

E os vetores unitários simplesmente apontam na direção das suas respectivas linhas pontilhadas.

Resposta

v = 14,1   m / s ; a = 11,2   m / s 2 ; e → t = - 0,709   i ^ + 0,709   j ^ ; a t = 10,605   m / s 2 ; a → t = ( - 7,49   i ^ + 7,49   i ^ ) ; a → n = ( - 2,51   i ^ - 2,49   j ^ ) ; a n = 3,54   m / s 2 ; ρ = 56,2   m ; e → n = - 0,893   i ^ + 0,446   j ^ ; e → r = 0,894   i ^ + 0,447   j ^ ; e → θ = - 0,447   i ^ + 0,894   j ^ ; v r = - 4,47   m / s ; v → r = ( - 4,00   i ^ - 2,00   j ^ ) ; v θ = 13,41   m / s ; v → θ = - 6,00   i ^ + 12,0   j ^   m / s ; a r = - 6,71   m / s 2 ; a → r = - 6,00   i ^ - 3,00   j ^ ; a θ = 8,94   m / s 2 ; a → θ = ( - 4,00   i ^ + 8,00   j ^ ) ; r = 56,0   m ; r ˙ = - 4,47   m / s ; θ = 26,6 ° ; θ ˙ = 0,240   r a d / s ; r ¨ = - 3,48   m   / s 2 ; θ ¨ = 0,198   r a d / s 2 .

Todas as velocidades estão em m / s , e as acelerações em m / s 2 .

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