Enunciado

O caixote retangular homogêneo possui uma massa de 120   k g e está sustentado na posição horizontal pelo cabo em A e pela dobradiça no canto O . Se o cabo em A é liberado repentinamente, calcule a velocidade angular ω do caixote pouco antes que atinja a inclinação de 30 ° . O peso do caixote influencia os resultados, com outras grandezas invariáveis?

Passo 1

O que vai acontecer aqui é o seguinte: a energia potencial gravitacional vai se converter em energia cinética de rotação em torno do ponto O . Vamos escrever isso matematicamente:

m g h = 1 2 I ω 2

E nosso problema é encontrar expressões para a altura h pela qual o centro de massa cai, e para o momento de inércia I do caixote.

Vamos começar pelo momento de inércia, que é tabelado para um bloco retangular:

I = 1 3 m 0,9 2 + 1,2 2

I = 1 3 120 2,25 = 90   k g ∙ m 2

Substituindo isso na equação de cima e isolando ω , encontramos o seguinte:

ω = 2 120 9,81 h ( 90 )

Passo 2

Agora só falta encontrar a altura h . Vamos precisar de algumas considerações geométricas:

Começamos calculando esse ângulo α da diagonl:

α = arctan ⁡ 0,9 1,2 = 36,86 °

E podemos calcular também a distância entre o ponto de apoio e o centro de massa, usando o teorema de pitágoras:

d = 1 2 1,2 2 + 0,9 2 = 0,75   m

Isso quer dizer que, quando a linha do centro de massa se inclinar por 30 ° , teremos algo parecido com isso:

Então:

h = 0,75 sen ⁡ 36,86 ° - sen ⁡ 6,86 ° = 0,360   m

Agora é só substituir na equação que escrevemos no passo anterior:

ω = 2 120 9,81 0,360 ( 90 ) = 3,07   r a d / s

Passo 3

O enunciado também perguntou se o peso do caixote influencia nos resultados. Vamos dar mais uma olhada na nossa equação, mas dessa vez sem os valores numéricos:

ω = 2 m g h ( I )

Mas podemos reescrever I sempre será a massa multiplicada por algum comprimento ao quadrado:

I = m k 2

Então:

ω = 2 m g h m k 2 = 2 g h k 2

Ou seja, a massa se cancela, e portanto o peso não interfere no resultado.

Resposta

A velocidade angular será ω = 3,07   r a d / s , e o peso não interfere no resultado.

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