Enunciado

A lança é suportada pelo cabo do guincho com diâmetro de 6   m m com tensão normal admissível σ a d m = 168 M P a . Se a lança tiver de levantar lentamente uma carga de 25 k N , de θ = 20 ° até θ = 50 ° , determine o menor diâmetro do cabo com aproximação de múltiplos de 5 m m . O comprimento da lança A B é 6 m . Despreze o tamanho do guincho e considere d = 3,6 m .

Passo 1

Falaaa! Bora comçar!

Queremos o diâmetro no cabo, certo? Como a gente tem a tensão admissível, vamos precisar achar a força no cabo. Maaas a gente tem duas situações limite de θ . O que faremos?

Para poupar esforços, a gente pode achar F B em função de θ e ver qual dos dois casos resulta em um esforço maior, ok? Já que a gente quer dimensionar ele, precisamos olhar as situações extremas.

Para facilitar nossa vida, vamos definir alguns ângulos aqui:

Aí a gente pode começar fazendo um DCL da nossa situação:

Passo 2

Vamos achar F B ! A gente pode fazer o somatório de momentos em A , com sentido anti-horário como positivo:

∑ M A = 0 ∴ - 25 ⋅ 6   s e n   α - F B cos ⁡ α + β   6   s e n   α + F B   s e n α + β   6   c o s   α = 0

F B = 25   s e n   α   c o s   α   s e n α + β - cos ⁡ α + β s e n   α

A gente consegue reescrever esse denominador usando uma identidade trigonométrica:

  c o s   α   s e n α + β - cos ⁡ α + β s e n   α = s e n α + β - α = s e n β

F B = 25 s e n   α s e n   β

Passo 3

Vamos achar β e α em função de θ . Olhando nosso desenho:

Podemos usar a Lei de Senos no triângulo da esquerda:

s e n   θ 6 m = s e n   β 3.6 m → β = a r c s e n   3,6 6 ⋅ s e n   θ

E pelos ângulos internos do triângulo a gente acha:

θ + β + α + 90 = 180 ∴ α = 90 - θ - β = 90 - θ - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n θ

Vamos substituir isso em F B , e testar θ = 20 ° e θ = 50 ° :

F B = 2525 s e n   α s e n   β = 25   s e n 90 - θ - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n θ 3,6 6 ⋅ s e n   θ s e n 90 - θ - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n θ

Fazendo para θ = 20 ° : (jogando na calculadora)

F B = 25   s e n 90 - 20 - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n 20 3,6 6 ⋅ s e n   20 s e n 90 - 20 - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n 20

F B = 103,491   k N

Fazendo para θ = 50 ° :

F B = 25   s e n 90 - 50 - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n 50 3,6 6 ⋅ s e n   50 s e n 90 - 50 - a r c s e n   3,6 6 ⋅ s i n 50

F B = 11,89   k N

Daí a gente tira que a situação que exige mais do cabo (onde o esforço nele é maior) é θ = 20 ° . Então vamos usar

F B = 103,491   k N

Passo 4

Podemos achar o diâmetro através da fórmulinha da tensão normal média. Ela é assim:

σ m e d = F A → A = F σ m e d

π 4 ⋅ d 2 = F σ m e d

Vamos isolar d :

d 2 = 4 π ⋅ F σ m e d

d = 4 π ⋅ F σ m e d

Se a gente fizer F = F B e σ = σ a d m a gente acha o diâmetro mínimo para aguentar essa tensão no cabo.

d 0 = 28,006 m m

Aproximando para um múltiplo de 5 vamos obter

d = 30 m m

Resposta

d 0 = 30 m m

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