Enunciado

Duas peças de madeira de 80   x   120   m m , de seção transversal retangular e uniforme, são unidas por simples colagem das seções chanfradas, como mostrado. Sabendo-se que as máximas tensões admissíveis na junta são, respectivamente de 400   K P a na tração (perpendicular ao chanfro) e de 6 6 0   k P a no cisalhamento (paralelo ao chanfro), determinar a maior carga axial P que pode ser aplicada.

Passo 1

Esse caso especial podemos pensar da seguinte maneira. A nossa barra estará sujeita, no estado inicial, apenas a uma tensão na direção X. Se formos analisar dessa maneira as tensões que temos, veremos que:

σ x = P A

σ y = τ x y = 0

Fazendo as coordenadas do nosso círculo, teremos que:

X σ x , - τ x y = X P A   , 0

Y σ y , τ x y = Y 0   , 0

Sendo assim teremos que:

σ M é d = σ x + σ y 2 = P A + 0 2 = P 2 A

Assim o raio da circunferência será dada por:

R = P A - P 2 A = P 2 A

E para determinarmos essas tensões no estado girado pelo círculo de mohr, precisamos lembrar do seguinte:

Ou seja, um ângulo que gera uma rotação no sentido horário no estado plano de tensões gera no círculo de mohr o dobro da mesma rotação no sentido anti-horário, e vice versa, com isso já conseguimos pegar o esquema do nosso problema, então vamos ao cálculo.

Passo 2

Vamos girar o nosso ângulo em dobro no sentido anti-horário, como o nosso plano é o de 22°, vamos girar no sentido anti-horário com 44°, sendo assim, teremos que:

τ x y P 2 A = S E N   44 °

τ x y = P 2 A S E N   44 °

x P 2 A = C O S   44 °

x = P 2 A C O S   44 °

σ y = P 2 A - P 2 A C O S   44 °

σ x = P 2 A + P 2 A C O S   44 °

A máxima tensão cisalhante é dada por:

τ A D M = 6 0 0   k P a

τ x y = P 2 A S E N   44 °

P 0,08   .     0,120   .   2   S E N   44 ° = 6 6 0 k N m 2

P = 18,24   K N

E verificando a tensão x normal teremos que:

τ A D M = 40 0   k P a

σ x = P 2 A + P 2 A C O S   44 ° = P 2 A 1 + C O S 44 °

P 0,08   .     0,120   .     2 1 + C O S 44 ° = 40 0 k N m 2

P = 4,47   K N

E verificando a tensão y normal teremos que:

τ A D M = 400   k P a

σ x = P 2 A - P 2 A C O S   44 ° = P 2 A 1 - C O S 44 °

P 0,08   .     0,120   .     2 1 - C O S 44 ° = 400 k N m 2

P = 27,36   K N

Para garantirmos que não haverá ruptura da nossa seção, precisamos selecionar a menor carga P encontrada, porque se escolhermos a maior, ela irá romper quem suportaria menos carga, porém, se escolhermos a menor, não oferecerá riscos para a maior, sendo assim, teremos que:

P = 4,47   K N

Resposta

P = 4,47   K N

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