Enunciado

Localize o centro de massa x - da barra reta se sua massa por unidade de comprimento for dada por m = m o 1 + x 2 L 2 .

Passo 1

Fala! Ele nos dá uma barra fina, que a gente pode entender como só tendo como medida significativa o comprimento. Mas ele diz que a massa dela varia ao longo de x e pede o centro de massa.

Cara, como essa massa varia ao longo de x com essa função diferentona, a gente vai precisar usar a fórmulinha para achar centros de massa que usa integral.

O centro de massa de um corpo tridimensional pode ser calculado da seguinte forma:

x - = ∫ x   d m ∫ d m

y - = ∫ y   d m m

z - = ∫ z   d m m

Mas como a gente considera que nosso corpo só tem comprimento, só precisamos de

x - = ∫ x   d m ∫ d m

Aí a ideia aqui é montar e calcular essas duas integrais, tá bem? Bora ver como fica!

Passo 2

Precisamos começar achando d m . Como? Cara, a gente vai escolher um pedacinho bem pequeno da nossa barra, de comprimento d x , que vamos chamar de elemento diferencial. Esse elemento tem a massa pequena, diferencial, d m . Olha ele:

Aí te pergunto: qual é a massa desse carinha? Lembra que ele nos dá a massa por comprimento:

m = m o 1 + x 2 L 2

Lembra que massa dividido por volume era densidade em 3D? Para corpos lineares, como o nosso, se a gente divide massa por comprimento, temos uma densidade linear. Então essa expressão que ele nos deu é a densidade linear da barrinha.

E olha que interessante, se a gente multiplicar a densidade linear (quando ela é constante) pelo comprimento, a gente acha a massa! E como d x é bem pequeno, a gente pode considerar que nossa densidade é constante nesse pedacinho. Aí a massa de d m é:

d m = m o 1 + x 2 L 2 d x

Agora é substituir isso nas integrais e partir para o abraço!

Passo 3

Vamos começar pela mais tranquila

∫ d m

∫ m o 1 + x 2 L 2 d x

O nosso intervalo vai ser intervalo de x da barra, ou seja,

0 ≤ x ≤ L

Voltando a integral

∫ d m = ∫ 0 L m o 1 + x 2 L 2 d x

∫ d m = m o ∫ 0 L m o 1 + x 2 L 2 d x

∫ d m = m 0 x + x 3 3 L 2 0 L

∫ d m = m 0 L + L 3 3 L 2

∫ d m = m 0 L + L 3

∫ d m = 4 3 L m 0

Passo 4

Agora vamos para a integral que falta

∫ x   d m = ∫ 0 L x m o 1 + x 2 L 2 d x

∫ x   d m = m 0 ∫ 0 L x 1 + x 2 L 2 d x

∫ x   d m = m 0 ∫ 0 L x + x 3 L 2 d x

∫ x   d m = m 0 x 2 2 + x 4 4 L 2 0 L

∫ x   d m = m 0 L 2 2 + L 4 4 L 2

∫ x   d m = m 0 L 2 2 + L 2 4 = 3 L 2 4 m 0

Passo 5

Assim, podemos calcular o valor de x - !

x - = ∫ x   d m ∫ d m

x - = 3 L 2 4 m 0 4 3 L m 0 = 9 16 L

Resposta

O valor de x - é:

x - = 9 16 L

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