Enunciado

Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x - e y - do centroide da área sombreada.

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

x - = ∫ x c d A A

y - = ∫ y c d A A

Passo 2

Vamos começar então definindo a área da porção sombreada da figura, para isso vamos subtrair a equação da área interna da equação da área externa. Para a área interna temos:

y 1 = k 1 x 3

Onde a constante k pode ser obtida pelo ponto ( a , a ) :

a = k 1 a 3

k 1 = a a 3 = 1 a 2

∴ y 1 = x 3 a 2

E a equação que define área externa, é:

y 2 = k 2 x

Também pelo ponto ( a , a ) :

a = k 2 a

k 2 = a a = a

∴ y 2 = a x

Logo, a equação da área sombreada é:

y = y 2 - y 1

y = a x - x 3 a 2

Passo 3

Com isso, podemos calcular a área total da parte sombreada, dada por:

A = ∫ d A = ∫ 0 a y d x

A = ∫ 0 a a x - x 3 a 2 d x

A = a x 3 2 3 2 a - x 4 4 a 2 0 a

A = 2 a 2 3 - a 2 4

A = 5 a 2 12

Passo 4

Show de bola! Feito isso, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Onde a área infinitesimal é dada por:

d A = y d x

d A = y 2 - y 1 d x

Vamos começar pela coordenada x - do centroide. Para isso, temos que:

x c = x

Substituindo todos os termos na equação de x - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

x - = ∫ x c d A A

x - * A = ∫ 0 a x y 2 - y 1 d x

x - * A = ∫ 0 a x a x - x 3 a 2 d x

x - * A = ∫ 0 a a x 3 2 - x 4 a 2 d x

x - * A = a x 5 2 5 2 - x 5 5 a 2 0 a

x - * A = 2 5 a * a 5 2 - a 5 5 a 2

x - * A = 2 a 3 5 - a 3 5

x - = a 3 5 * 12 5 a 2

x - = 12 a 25

Passo 5

Ainda tem coisa pra fazer?

Olhando esse tanto de conta parece coisa de outro mundo, mas no final prometo que vai dar tudo certo. Bora continuar! Agora vamos analisar a coordenada y - do centroide. Onde:

y c = y 1 + y 2 2

Substituindo todos os termos na equação de y - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

y - = ∫ y c d A A

y - * A = ∫ 0 a y 1 + y 2 2 y 2 - y 1 d x

y - * A = 1 2 ∫ 0 a y 2 2 - y 1 2 d x

y - * A = 1 2 ∫ 0 a a x 2 - x 3 a 2 2 d x

y - * A = 1 2 ∫ 0 a a x - x 6 a 4 d x

y - * A = 1 2 a x 2 2 - x 7 7 a 4 0 a

y - * A = 1 2 a 3 2 - a 7 7 a 4

y - * A = 1 2 * 5 a 3 14

y - = 5 a 3 28 * 12 5 a 2

y - = 3 a 7

É isso, galera. Partiu pra próxima!

Resposta

x - = 12 a 25

y - = 3 a 7

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