Enunciado

87- Uma casca fina, mostrada em seção, tem sua forma gerada pela revolução do arco por 360 em torno do eixo z . Determine a área superficial A de um dos dois lados da casca.

Passo 1

Caso esteja em dúvida de como essa figura se comporta pense em algo parecido com isso:

E para calcular a área superficial formada por esse arco precisamos calcular a área superficial causada pela revolução pelo teorema de Pappus.

Passo 2

A área superficial causada pela revolução é dada por:

A = 2 π r - L

Onde L é o comprimento do arco, 2 π seria o ângulo de rotação do arco (que no caso é a volta completa em torno do eixo z e r - o centroide do arco em relação ao eixo de rotação.

Do exemplo 5/1 nós temos a solução do centroide de um arco circular (somente da linha) porém ele é relacionado ao centro do circulo x - . Precisamos fazer com que ele seja ao eixo de rotação r - .

Logo:

r - = R - x - = R - r s i n   α α

Passo 3

Agora precisamos encontrar o comprimento desse arco, e assim como temos o comprimento do círculo igual a:

L = 2 π r

Nós poderemos dizer que o comprimento normal de um setor de círculo é igual a:

L = θ r

Onde θ é o ângulo desse setor, que no caso da questão é de:

θ = 2 α

Logo o comprimento desse arco é:

L = 2 α r

Passo 4

Logo a área superficial desse arco será:

A = 2 π R - r s i n   α α 2 α r

A = 4 π ( α r R - r 2 sin ⁡ α )

A = 4 π r R α - r s i n   α

Resposta

A = 4 π r R α - r s i n   α

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