Enunciado

A luminária tem uma massa de 15 kg e está sustentada por uma barra AO e pelos cabos AB e AC. Se a força na barra atua ao longo de seu eixo, determine as forças em AO, AB e AC para o equilíbrio.

Passo 1

Falaaa!

Para encontrar o valor da força em cada cabo e na barra, como é pedido, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas.

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x, y e z, pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Logo, fazendo o diagrama de corpo livre tem-se:

A gente escolheu esses sentidos para as forças. Mas se você escolher outro, o resultado final só vai ficar com sinal trocado.

E, então, observando o desenho feito consegue-se montar as equações de equilíbrio.

Passo 2

Tem-se que a luminária exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P l u m = 15 × 9,81 = 147,15   N . Colocando na forma vetorial

P = - 147   k

Também é possível denotar as forças F A B , F A C e F A O na forma vetorial. O que a gente precisa fazer é achar um vetor unitário na direção e sentido da força, e multiplicar a intensidade da nossa força por ele.

Percebe que para a AB, um vetor no sentido da força seria o que sai de A e vai para B. Podemos acha-lo pela diferença entre essas coordenadas desses pontos. Fazendo final menos inicial:

u A B = B - A = - 4 ,   1.5,0 - 2 , -   1.5 ,   6 = - 6 ,   - 3 , - 6

Aí para achar o vetor unitário só dividir esse cara pelo módulo dele. Nossa força em forma vetorial fica:

F A B → = F A B - 6 i + 3 j - 6 k - 6 2 + 3 2 + - 6 2 = F A B - 6 i + 3 j - 6 k 9

F A B → = F A B - 6 9 i + 3 9 j - 6 9   k

Para A C e A O fazemos algo parecido

u A C = C - A = 0 ,   1.5,0 - 2 , -   1.5 ,   6 = - 2 ,   3 , - 6

F A C → = F A C - 2 i + 3 j - 6 k - 2 2 + 3 2 + - 6 2 = F A C - 2 i + 3 j - 6 k 7

F A C → = F A C - 2 7 i + 3 7 j - 6 7 k

u A O = O - A = 0 ,   0,0 - 2 , -   1.5 ,   6 = - 2 ,   1.5   , - 6

Mas percebe que esse vetor vai de A a O ,mas no nosso DCL, a força está no sentido oposto, então é aí invertero sinal das coordenadas desse vetor aí e continuar as contas

F A O → = F A O 2 i - 1,5 j + 6 k 2 2 + - 1,5 2 + 6 2 = F A O 2 i - 1,5 j + 6 k 6,5

F A O → = F A O 2 6,5 i - 1,5 6,5 j + 6 6,5 k

Passo 3

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F → = 0

- 147   k + F A B - 6 9 i + 3 9 j - 6 9   k + F A C - 2 7 i + 3 7 j - 6 7 k + F A O 2 6,5 i - 1,5 6,5 j + 6 6,5 k = 0

Olhando para cada eixo, vamos igualar a soma em cada componente a zero:

∑ F x = 0

- 6 9 F A B - 2 7 F A C + 2 6,5 F A O = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

3 9 F A B + 3 7 F A C - 1,5 6,5 F A O = 0   ( 2 )

Para as componentes em k , por fim,

∑ F z = 0

- 6 9 F A B - 6 7 F A C + 6 6,5 F A O - 147,15 = 0   3

Passo 4

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema de equações linear e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças.

Resolvendo este sistema, obtem-se:

F A B ≅ 110,4   N

F A C ≅ 85,8   N

F A O ≅ 318,8   N

Resposta

F A B ≅ 110,4   N

F A C ≅ 85,8   N

F A O ≅ 318,8   N

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