Enunciado

Determine a tração desenvolvida nos cabos A B , A C e A D necessária para o equilíbrio da caixa de 150   k g .

Passo 1

Olá, belezinha? Bora fazer esse exercício top? Bora!!

Para encontrarmos o valor da tração em cada cabo, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas. Assim, teremos:

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x ,   y   e   z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Tem-se que a caixa exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P c a i x a = 150 × 9,81 = 1471,5   N .

O que vamos fazer aqui é usar as equações de equilíbrio que dizem que

∑ F = 0

No ponto. Como a gente está em 3D, é melhor colocar as forças na forma vetorial primeiro e depois achar as componentes delas em cada eixo. Aí as equações de equilíbrio que a gente vai usar são:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Bora lá!

Passo 2

Para achar a forma vetorial das forças, vamos usar a fórmulinha:

F → = F r → r →

Como o módulo F   das forças a gente vai achar pelas equações de equilíbrio, só precisamos achar o vetor u → que está na direção e sentido da força do por enquanto.

A força F A B sai de A   e vai para B . Aí para achar o vetor nessa direção, a gente faz ponto final menos inicial

r → A B = B - A

r → A B = - 0.6 ,   0.3 ,   0.6 - 0,0 , 0

r → A B = - 0,6 i + 0,3 j + 0,6 k   m

Então:

F A B → = F A B - 0,6 i + 0,3 j + 0,6 k - 0,6 2 + 0,3 2 + 0,6 2 = F A B - 0,6 i + 0,3 j + 0,6 k 0,9

⇒ F A B → = F A B - 2 3 i + 1 3 j + 2 3 k

Para achar as componentes da força é só olhar as componentes do vetor que a gente achou

F A B x = - 2 3 F A B F A B y = 1 3 F A B F A B z = 2 3 F A B

Para F A C , nosso vetor sai de A e vai para C :

r → A C = C - A

r → A C = - 0.6 ,   - 0.6 ,   0.3 - 0,0 , 0

r → A C = - 0,6 i - 0,6 j + 0,3 k   m

Assim:

F A C → = F A C - 0,6 i - 0,6 j + 0,3 k - 0,6 2 + - 0,6 2 + 0,3 2 = F A C - 0,6 i - 0,6 j + 0,3 k 0,9

⇒ F A C → = F A C - 2 3 i - 2 3 j + 1 3 k

Onde:

F A C x = - 2 3 F A C F A C y = - 2 3 F A C F A C z = 1 3 F A C

E para F A D , como ela está no mesmo lugar que o eixo x , e está no sentido positivo, a gente pode dizer que o vetor unitário na direção dela é r → = 1,0 , 0 . Para achar esse cara, é só colocar um 1 na componente do eixo que ela está, no caso, a componente x .

Podemos dizer então:

r → A D = 1 i   m

Logo:

F A D → = F A D i

F A D x = F A D

As outras componentes ficam zero, já que a força está contida em um eixo só.

Passo 3

Conseguimos montar as equações de equilíbrio.

A condição de equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada eixo seja nulo (para que nenhum corpo se mova), ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Aí a gente vai usar para cada eixo as componentes que achou e peso. Lembrando que o peso só atua no eixo z e para baixo, por isso ele entra negativo no somatório.

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

⇒ - 2 3 F A B - 2 3 F A C + F A D = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

⇒ 1 3 F A B - 2 3 F A C = 0   ( 2 )

∑ F z = 0

⇒ 2 3 F A B + 1 3 F A C - 1471,5 = 0   3

Passo 4

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças:

- 2 3 F A B - 2 3 F A C + F A D = 0   1 3 F A B - 2 3 F A C = 0 2 3 F A B + 1 3 F A C - 1471,5 = 0  

Primeiro, podemos pegar a segunda equação e deixar cada uma das variáveis de cada lado dela, tal que:

1 3 F A B - 2 3 F A C = 0 → 1 3 F A B = 2 3 F A C

Ou seja:

F A B = 2 F A C

Assim, substituindo esse resultado na terceira equação:

2 3 F A B + 1 3 F A C - 1471,5 = 0 → 2 3 2 F A C + 1 3 F A C - 1471,5 = 0

Temos:

4 3 F A C + 1 3 F A C - 1471,5 = 0 → 5 3 F A C = 1471,5

∴ F A C = 882,9   N

Consequentemente:

F A B = 2 882,9 = 1765,8   N

Por fim, usando esses dois resultados na primeira equação:

- 2 3 F A B - 2 3 F A C + F A D = 0 → F A D = 2 3 F A B + 2 3 F A C

⇒ F A D = 2 3 1765,8 + 2 3 882,9

Logo:

F A D = 1765,8   N

E, portanto:

F A B = 1765,8   N

F A C = 882,9   N

F A D = 1765,8   N

Resposta

F A B = 1765,8   N

F A C = 882,9   N

F A D = 1765,8   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as intensidades de F 1 ,F 2eF 3 para o equilíbrio da partícula.
5.63. A haste uniforme lisa AB é apoiada por uma junta esférica em A, a parede em B e o cabo BC. Determine as componentes da reação em A, a tensão no cabo e a reação normal em B, se a barra possui mas
A laje de concreto uniforme tem massa de 2400k g . Determine a tração em cada um dos três cabos de apoio paralelos quando a laje é mantida no plano horizontal, conforme mostrado na figura.
O carrinho sustenta o engradado uniforme com massa de 85k g . Determine as reações verticais sobre os três rodízios em A ,B e C . O rodízio em B não aparece na figura. Despreze a massa do carrinho.
O membro é sustentado por um eixo retangular que se encaixa livremente no furo retangular liso da luva conectada em A e por um rolete em B. Determine as componentes de reação desses apoios quando o me