Enunciado

Sabendo que a intensidade da força P é de 31,1 kN, determine (a) a inclinação na extremidade A (b) a deflexão na extremidade A e (c) a deflexão no ponto médio C da viga. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Beleza galera? Ufa, finalmente um exercício sem dados literais, pegue a sua calculadora e vamos nessa! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, vamos começar encontrando a força nos apoios, nesse caso, como temos um carregamento simétrico aplicado na viga, a reação nos apoios será igual a metade da carga aplicada, ou seja:

A y = E y = 6,67 + 31,1 + 6,67 2 → A y = E y = 22,22   k N

Para encontrar o momento nos pontos B e C, vamos desenhar DCL para essas duas partes. Então, para uma seção de comprimento x entre os pontos A e B, teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

M + 6,67 x = 0 → M = - 6,67 x

Com 0 < x < 610   m m . Agora vamos estender essa seção para um comprimento x entre B e C, onde teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M G = 0

M + 6,67 x - 22,22 x - 0,61 = 0 → M = 15,55 x - 13,55

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos nos pontos B e C, onde teremos:

M B = - 6,67 0,61 → M B = - 4,07   k N

M C = 15,55 1,372 + 0,61 - 13,55 → M C = 17,3   k N

Agora vamos encontrar o ponto onde temos momento zero na seção entre os pontos B e C, para que possamos desenhar o diagrama M/EI corretamente, então teremos:

0 = 15,55 x - 13,55 → x = 0,871   m

Lembrando que essa distância é contada a partir da extremidade A. Então nosso diagrama M/EI será:

Passo 4

Agora, antes de calcular as áreas sob o diagrama, precisamos calcular o termo EI que fica no denominador, consultando o apêndice C, teremos o seguinte momento de inércia para o nosso perfil de viga:

I = 9,16.10 6   m m 4 = 9,16.10 - 6   m 4

Então o termo EI será:

E I = 200.10 9 9,16.10 - 6 → E I = 1,832.10 6   N . m 2 = 1832   k N . m 2

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A 1 = b h 2 = ( 0,61 ) - 4,07 1832 2 → A 1 = - 677,59.10 - 6

x - 1 = b 3 = 0,61 3 → x - 1 = 0,203   m

A 2 = b h 2 = ( 0,871 - 0,61 ) - 4,07 1832 2 → A 2 = - 289,92.10 - 6

x - 2 = b 3 = 0,871 - 0,61 3 → x - 2 = 0,1305   m

A 3 = b h 2 = ( 1,372 + 0,61 - 0,871 ) 17,3 1832 2 → A 3 = 5,246.10 - 3

x - 3 = b 3 = 1,372 + 0,61 - 0,871 3 → x - 3 = 0,370   m

Passo 5

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A 1 + A 2 + A 3

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico e localizado no centro da viga, teremos:

θ A - 0 = - 677,59.10 - 6 + - 289,92.10 - 6 + 5,246.10 - 3

θ A = 4,278.10 - 3   r a d

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 6

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t A / B = A A B x -

Em que A A B é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto A. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , e lembrando de somar a porção relacionada a inclinação referente ao ponto A, teremos:

t A - t B = A 1 x - 1 + 0,61 θ A

Sabendo que não temos deflexão em B devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t A - 0 = - 677,59.10 - 6 0,61 - 0,203 + 0,61 4,278.10 - 3

t A = 2,33.10 - 3   m

Beleza! Agora falta só a letra (c), bora lá!

Passo 7

Agora, utilizando o teorema do segundo momento de área novamente, só que agora entre os pontos A e C para encontrar a deflexão em C, lembrando que nesse caso não temos inclinação no ponto C, devido a simetria do carregamento, então o segundo momento de área será:

t C / A = A C A x - → t C - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 2,33.10 - 3 = - 677,59.10 - 6 1,372 + 0,203 + - 289,92.10 - 6 1,372 - 0,61 - 0,1305 + 5,246.10 - 3 0,37

t C = - 1,64.10 - 3   m

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

a :   θ A = 4,278.10 - 3   r a d

b : t A = 2,33.10 - 3   m

c :   t C = - 1,64.10 - 3   m

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Para a viga mostrada, determine a reação em B .
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A viga A D se apoia na a viga E F conforme mostrado. Sabendo que um perfil laminado W 12 × 26 é o utilizado em cada viga, determine para o carregmaneto mostrado as deflexões nos pontos B e C . Use E =