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Um mastro de uma bandeira com uma estrutura triangular leve está mostrado aqui em uma posição arbitrária durante sua elevação. A força trativa de 75 N no cabo de elevação se mantém constante. Determine, e mostre em um gráfico, o momento em relação a O da força de 75 N para a faixa 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° . Determine o valor máximo deste momento e o ângulo de elevação no qual ele ocorre; comente a relevância física deste último valor. Os efeitos do diâmetro do carretel em D podem ser ignorados.

Passo 1

Para obtermos a expressão vetorial da tração T e assim conseguirmos calcular o momento em relação a O , precisamos primeiro definir a posição do ponto A em função do ângulo θ . O ponto A percorre um círculo de raio igual a 3 m em volta do ponto O , com o ângulo entre O A e O x (definindo O x como horizontal para a direita) sendo igual a θ + 60 ° . Então as coordenadas de A são:

x A = 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ )

y A = 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ )

Passo 2

Agora que sabemos a posição de A , podemos obter o vetor unitário n A D que tem a mesma direção que a força T . Vamos então calcular n A D = r A D / r A D , sendo r A D o módulo do vetor r A D :

r A D = r D - r A = - 6 i - 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) i - 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) j

r A D = - 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) - 6 i - 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) j

r A D = - 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) - 6 2 + 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) 2

= 9 cos 2 ⁡ 60 ° + θ + 36 cos ⁡ 60 ° + θ + 36 + 9 sen 2 ⁡ 36 ° + θ

= 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ

Então:

n A D = r A D r A D = - 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) - 6 i - 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) j 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ

Passo 3

Como nossa força tem um módulo constante igual a 75 N e a direção dada por n A D , então podemos escrevê-la assim:

T = 75 n A B = - 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) - 6 i - 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) j 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ ⋅ 75

Podemos então calcular nosso momento M O , aplicando o produto vetorial :

M O = r A × T = 75 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) i + 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) j × - 3 cos ⁡ ( 60 ° + θ ) - 6 i - 3 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) j

= 75 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ ⋅ 18 sen ⁡ ( 60 ° + θ )  

= 1350 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ k   N ⋅ m

Passo 4

A próxima figura mostra um gráfico de M em função de θ :

Analisando o gráfico encontramos um máximo M M á x = 225 quando θ = 60 ° .

Resposta

1350 sen ⁡ ( 60 ° + θ ) 45 + 36 cos ⁡ 60 ° + θ k   N ⋅ m

M M á x = 225 ;   θ = 60 °

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