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Determine a força em cada elemento da treliça carregada.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, isolando cada pino da treliça. Primeiro vamos às equações externas da treliça, para acharmos os valores de reação de A e B . Note que o apoio em A só causa uma reação para cima:

∑ F x = 0 ⇒ D x = 0

∑ F y = 0 ⇒ A y + D y - 6 - 4 = 0 ⇒ A y = 10 - D y

Agora achamos D y calculando o momento em torno de A :

∑ M A = 0 ⇒ - 4 3 - 6 9 + D y 12 = 0 ⇒ 12 D y = 66

⇒ D y = 5,5   k N   ( p a r a   c i m a )

Através de D y encontramos A y :

⇒ A y = 4,5   k N   ( p a r a   c i m a )

Passo 2

Agora vamos calcular as equações para cada nó, começando por A. Se obtivermos valor negativo quer dizer que erramos no sentido da força.

Nó A:

Como mostra o desenho, a força A B é certamente de compressão e a A F de tração.

O ângulo entre A B e A F tem seno 4 5 = 0,8 e cosseno 3 5 = 0,6 .

∑ F x = 0 ⇒ - 0,6 A B + A F = 0 ⇒ A F = 0,6 A B

∑ F y = 0 ⇒ - 0,8 A B + 4,5 = 0 ⇒ A B = 4,5 0,8 ⇒ A B = 5,63   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Agora encontramos o valor de A F :

A F = 0,6 5,63 ⇒ A F = 3,38   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 3

Nó F:

∑ F x = 0 ⇒ E F = A F ⇒ E F = 3,38   k N   ( T r a ç ã o )

∑ F y = 0 ⇒ B F = 4   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 4

Nó B:

O ângulo entre B E e B F tem seno igual a 6 52 = 0,83 e cosseno igual a 4 52 = 0,55 .

∑ F y = 0 ⇒ A B ⋅ 0,8 - B F + B E ⋅ 0,55 = 0

B E = 0,8 ⋅ A B - B F 0,55

Substituindo A B e B F :

B E = - 0,8 5,63 + 4 0,5 5

B E = - 0,9 1   k N

Agora vamos pro eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ 0,6 A B + B C - 0,83 B E = 0

B C = - 0,6 A B + 0,83 B E

Substituindo o valor de A B e B E :

B C = - 0,6 ⋅ 5,63 + 0,83 ⋅ ( - 0,91 )

B C = - 4,13   k N

O sinal negativo indica que o nosso desenho colocou as forças B C e B E com sinais invertidos. Logo, B C deve ser uma compressão, e B E deve ser uma tração.

B C = 4,13   k N   ( C o m p r e s s ã o )

B E = 0,91   k N   ( T r a ç ã o )

Então, nos próximos passos vamos desenhar B C como compressão e B E como tração

Passo 5

Nó C:

∑ F x = 0 ⇒ B C - 0,6 C D = 0

C D = B C 0,6

Substituindo o valor de B C :

C D = 4,13 0,6

C D = 6,88   k N   ( C o m p r e s s ã o )

E agora vamos pro eixo y :

∑ F y = 0 ⇒ 0,8 C D - C E = 0

C E = 0,8 ⋅ C D

Aplicando o valor de C D :

C E = 0,8 6,88

C E = 5,51   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 6

Nó E:

Aqui só precisamos da equação das forças horizontais para encontrar E D :

∑ F x = 0 ⇒ - 0,83 B E - E F + E D = 0 ⇒ E D = 0,83 B E + E F

Substituindo os valores:

E D = 0,83 0,9 + 3,38 ⇒ E D = 4,13   k N   ( T )

Resposta

A B = 5,63   k N   ( C )

A F = 3,38   k N   ( T )

E F = 3,38   k N   ( T )

B F = 4   k N   ( T )

B E = 0,9   k N   ( T )

B C = 4,13   k N   ( C )

C D = 6,88   k N   ( C )

C E = 5,51   k N   ( T )

E D = 4,13   k N   ( T )

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