Enunciado

O mastro uniforme de 3,6   m é articulado à plataforma do caminhão e liberado a partir da posição vertical quando o caminhão parte do repouso com uma aceleração de 0,9   m / s 2 . Se a aceleração permanece constante durante o movimento do mastro, calcule a velocidade angular ω do mastro quando atingir a posição horizontal.

Passo 1

Geralmente, quando queremos encontrar a velocidade angular para um determinando deslocamento angular θ (nesse caso, 90 ° = π / 2 ), temos que usar a seguinte relação:

ω   d ω = α   d θ

E quando integramos dos dois lados:

∫ 0 ω ω   d ω = ∫ 0 π / 2 α   d θ

ω 2 2 = ∫ 0 π / 2 α   d θ

O nosso problema passa a ser o seguinte: encontrar uma expressão que dê a aceleração angular em função de θ .

Passo 2

Como queremos encontrar uma aceleração angular em torno de O , vamos montar uma equação de momentos em relação ao ponto O :

∑ M O = I - α + ∑ m a - d

A única força que produz momento em relação ao ponto O é uma componente da força peso, agindo no centro de massa do mastro:

∑ M O = m g sen ⁡ θ l 2

E o momento de inércia do mastro em relação a um eixo que passa pelo ponto O é:

I - = 1 12 m l 2

Agora vamos olhar para o último termo, que considera os momentos da força resultante que age no centro de massa.

Bom, o centro de massa está em rotação em torno do ponto O , certo? Então ele terá uma aceleração tangencial e uma centrípeta associadas a essa rotação.

Além disso, tem um aceleração a = 0,9   m / s 2 de translação do centro de massa, associado ao movimento do caminhão para frente:

∑ m a - d = m l 2 α l 2 - m a l 2 cos ⁡ θ

E então:

m l 2 g sen ⁡ θ = m l 2 12 α + m l 2 4 α - m l 2 a cos ⁡ θ

Agora vamos substituir os valores para encontrar uma função α ( θ ) . Primeiro dividimos toda a equação por m l :

1 2 g sen ⁡ θ = l 12 α + l 4 α - 1 2 a cos ⁡ θ

g 2 sen ⁡ θ = α 1,2 - 3 2 cos ⁡ θ

α = 5 12 g sen ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos subsituir essa função na equação que escrevemos no primeiro passo:

ω 2 2 = ∫ 0 π / 2 α   d θ

ω 2 2 = 5 12 ∫ 0 π / 2 g sen ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ   d θ

Vamos resolver cada termo da integral separadamente:

∫ 0 π / 2 g sen ⁡ θ   d θ = - g cos ⁡ π 2 + g cos ⁡ 0 = g

∫ 0 π / 2 3 cos ⁡ θ   d θ = 3 sen ⁡ π 2 - 3 sen ⁡ 0 = 3

Então:

ω 2 2 = 5 12 g + 3 = 5,3375

ω = 3,27   r a d / s

Resposta

A velocidade angular do mastro quando atinge a posição horizontal é ω = 3,27   r a d / s .

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