Enunciado

O mecanismo do prob 5/90 para empurrar pequenas caixas de uma linha de montagem para uma correia transportadora é apresentado com o braço OD e a manivela CB em suas posições verticais. Para a configuração mostrada, a manivela CB possui uma velocidade angular constante no sentido horário de π   r a d / s . Determine a aceleração de E.

Passo 1

Pessoal, vamos pegar alguns dados calculados no exercício 5/90 da seção 5.4, velocidade relativa:

ω B C → = - π k ^ r a d s

r A / O → = - 0,1 i ^ + 0,2 j ^

r C / B → = 0,05 j ^

r A / B → = - 0,3 i ^ + 0,05 j ^

r D / O → = 0,6 j ^

r E / D → = 0,346 i ^ - 0,2 j ^

ω O A = - 0,857   k ^   r a d / s

ω A B = - 0,286   k ^   r a d / s

O diagrama então fica assim:

Passo 2

Pronto, vamos começar a calcular as acelerações.

O ponto B possui apenas aceleração normal em relação a BC, portanto:

a B = a B n = - r B C ω B C 2 =   -   0,05 - π 2 = - 0,49   j ^   m / s 2

A aceleração de A pode ser representada a partir da barra AO por:

a A = - r A O ω A O 2 + α A O × r A O = - - 0,1 i ^ + 0,2 j ^ - 0,857 2 i ^ + α A O k ^ × - 0,1 i ^ + 0,2 j ^

a A = 0,0734 i ^ - 0,147   j ^ + α A O - 0,2 i ^ - 0,1 j ^ m / s 2

Agora, vamos usar a equação da aceleração relativa para a barra AB.

a B = a A + a B / A n + a B / A t

Onde:

a B / A n = ω A B × ω A B × r B / A = - - 0,286 2 0,3 i ^ - 0,05 j ^ = - 0 , 0245 i ^ + 0 , 0041 j ^   m / s 2

a B / A t = α A B × r B / A = α A B 0 , 05 i ^ + 0 , 3 j ^ m / s 2

Agora, vamos substituir os valores encontrados na equação da aceleração relativa:

- 0,49 j ^ = 0,0734 i ^ - 0,147   j ^ + α A O - 0,2 i ^ - 0,1 j ^ - 0,0245 i ^ + 0,0041 j ^ + α A B 0,05 i ^ + 0,3 j ^  

Decompondo nas direções, temos o sistema:

0 = 0,0734 i ^ + α A O - 0,2 i ^ - 0,0 245 i ^ + α A B 0 , 05 i ^  

- 0,49 j ^ = - 0,147   j ^ + α A O - 0,1 j ^ + 0,0 041 j ^ + α A B 0,3 j ^  

Resolvendo o sistema, temos:

α A O = α D O = - 0,052 k ^   r a d / s 2

α A B = - 1,19 k ^   r a d / s 2

Passo 3

Sabendo agora a aceleração angular do braço OD, podemos calcular a sua aceleração.

a D = a D / O n + a D / O t

Onde:

a D / O n = ω A O × ω A O × r D / O = - - 0,857 2 0,6 j ^ = - 0,44 j ^   m / s 2

a D / O t = α D E × r D / O = - 0,052 k ^ × 0,6 j ^ = 0,0312   i ^   m / s 2

Logo:

a D = 0,0312 i ^ - 0,44 j ^   m / s 2

Passo 4

Finalmente, vamos usar a equação da aceleração relativa para DE. Lembrando pessoal, que como as v E = v D , então não há velocidade angular neste instante. Além disso, a aceleração do ponto E está na horizontal, seguindo sua trajetória.

a E = a D + a E / D n + a E / D t

Onde:

a E / D n = ω E D × ω E D × r E / D = 0

a E / D t = α E D × r E / D = α E D k ^ × 0,346 i ^ - 0,2 j ^ = - 0,2 α E D   i ^ - 0,346 α E D j ^   m / s 2

Substituindo os valores:

a E i ^ = 0,0312 i ^ - 0,44 j ^ - 0,2 α E D   i ^ - 0,346 α E D j ^

Decompondo nas direções:

a E i ^ = 0,0312 i ^ - 0,2 α E D   i ^

0 = - 0,44 j ^ - 0,346 α E D j ^

Resolvendo o sistema:

α E D = - 1,27   k ^   r a d / s 2

a E = 0,285   i ^   m / s 2

Resposta

a E = 0,285   i ^   m / s 2

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