Movimento Relativo: Aceleração

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Teoria

Introdução

Agora que vimos como achar a velocidade relativa entre diversos pontos que pertencem a um corpo rígido, vamos trabalhar com a aceleração.

Lembra das nossas barrinhas articuladas?

E se ao invés da velocidade eu queira saber a aceleração relativa entre os ponto A e O ? É isso que vamos ver neste capítulo, como relacionar as acelerações de pontos diferentes que pertencem ao mesmo corpo rígido.

Você vai ver que é bem parecido com o que vimos para a velocidade. Vamos começar!

  1. Aceleração Relativa
  2. Para chegamos na equação que relaciona a aceleração de dois pontos A e B de um mesmo corpo rígido com a aceleração relativa entre esses pontos é só derivarmos a equação da velocidade:

    d v → A d t = d v → B d t +   d v → A / B d t

    Vamos ter que:

    a → A = a → B +   a → A / B

    Lembra que para um observador em B o ponto A realiza um movimento circular?

    Como o movimento é circular, a aceleração relativa vai ter uma componente tangencial ( a → A / B ) t e outra componente normal ( a → A / B ) n :

    a → A / B = ( a → A / B ) t + ( a → A / B ) n

    Para calcular a componente tangencial da aceleração usamos:

    ( a → A / B ) t = α × r → A / B

    A componente tangencial da aceleração relativa é sempre perpendicular ao vetor r → A / B . E seu módulo pode ser calculado como:

    ( a → A / B ) t = α r A / B

    Para calcular a componente normal da aceleração vamos usar:

    ( a → A / B ) n = ω 2 r → A / B

    Este componente tem a mesma direção do vetor r → A / B , porém tem sentido oposto a ele. Seu módulo pode ser calculado como:

    ( a → A / B ) n = ω 2 r A / B

    Então, a equação que vamos usar para resolver a maioria dos problemas de aceleração relativa é:

    a → A = a → B + α → × r → A / B - ω 2 r → A / B

    Esse sinal negativo vem do conceito de produto vetorial, não precisa se preocupar com isso!!!

    Observações

    Se estivermos tratando de corpos rígidos que possuem barras articuladas como esse aqui:

    O ponto de contato entre as barras, neste caso é o ponto B , terá a mesma aceleração na barra A B e na barra B C . Como o ponto B faz um movimento curvil��neo, a sua aceleração terá duas componentes, a tangencial e a normal. Na barra B C , o ponto C se move em uma trajetória reta, logo a C é horizontal.

    Se dois corpos estiverem só em contato entre si e eles se moverem em trajetórias diferentes, as componentes tangenciais das acelerações dos pontos serão iguais, mas as componentes normais serão diferentes. Isso ocorre em engrenagens, onde cada uma tem um movimento de rotação:

    Vamos pegar o jeito fazendo exercícios. Partiu?

Observações

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a a ) aceleração angular da barra A B e b ) a aceleração linear de A para θ = 90 ° se θ ˙ = 0 e θ ¨ = 3   r a d / s 2 nessa posição. Desenvolva sua solução usando notação vetorial.

Passo 1

Vamos começar analisando as velocidades. Repare que as barras não possuem velocidade angular, pois foi dito no enunciado que θ ˙ = 0 :

ω O B = ω A B = 0

Vamos ter que a velocidade do ponto A será:

v → A = v → B + ω → A B × r → A / B

Como a velocidade angular é nula, vamos ter que:

v → A = v → B

Como o ponto B realiza um movimento circular em torno do ponto O , podemos calcular a velocidade deste ponto assim:

v B = ω O B r

Opa, mas a velocidade angular da barra é zero. Então:

v A = v B = 0

Passo 2

Agora vamos fazer a análise das acelerações. Quando θ = 90 ° vamos ter:

Podemos achar a aceleração do ponto B , já que sabemos a aceleração angular da barra O B :

a B = α r     →         a B = 3 0,4

a B = 1,2   r a d / s 2

Vetorialmente temos que o vetor a → B aponta no sentido negativo do eixo y :

a → B = - 1,2 j ^   r a d / s 2  

Nossa equação da aceleração do ponto A vai ser:

a → A = a → B +   α → A B × r → A B - ω A B 2 r → A / B

Como ω A B = 0 , então nos resta:

a → A = a → B +   α → A B × r → A B

Passo 3

Vamos decompor nossos vetores no eixo x y para fazer a soma vetorial. Vamos começar pelo vetor r → A B :

Por teorema de Pitágoras conseguimos achar o valor de x :

0,5 2 = x 2 + 0,4 2       →         x = 0,5 2 - 0,4 2

x = 0,3   m

Então, podemos escrever nosso vetor r → A B assim:

r → A B = - 0,3 i ^ + 0,4 j ^   m

Sabemos que o vetor aceleração angular da barra A B está no eixo Z . Vamos arbitrar um sentido para ele e depois verificamos se está certo. Vamos colocar o vetor α → A B como positivo no eixo z :

α → A B = a A B k ^

E o vetor aceleração do ponto A ( a → A ) ?   Esse é o vetor que queremos determinar, mas sabemos que ele está no eixo x , pois o ponto A só pode se mover na horizontal:

a → A = a A i ^

Então, vamos ter que:

a → A = a → B +   α → A B × r → A B       →           a A i ^ = - 1,2 j ^ + a A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,4 j ^

Passo 4

Vamos fazer o produto vetorial:

α → A B × r → A B = a A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,4 j ^

Nossa matriz vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 a A B - 0,3 0,4 0 = i ^ 0 a A B 0,4 0 - j ^ 0 a A B - 0,3 0 + k ^ 0 0 - 0,3 0,4

α → A B × r → A B = ( - 0,4 a A B i ^ - 0,3 a A B j ^ )

Vamos substituir isso na nossa equação:

a A i ^ = - 1,2 j ^ + a A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,4 j ^

a A i ^ = - 1,2 j ^ + ( - 0,4 a A B i ^ - 0,3 a A B j ^ )

Agora é só separarmos as equações de acordo com suas componentes:

E m   x       →           a A = - 0,4 a A B

E m   y     →         0 = - 1,2 - 0,3 a A B

Da segunda equação podemos determinar o valor de a A B :

0 = - 1,2 - 0,3 a A B     →         a A B = - 4   r a d / s 2

O sinal negativo indica que escolhemos o sentido errado do vetor α → A B , ou seja, ele aponta no sentido negativo do eixo z :

α → A B = - 4 k ^   r a d / s 2

Pela primeira equação vamos achar o valor da aceleração no ponto A :

a A = - 0,4 a A B       →         a A = - 0,4 ( - 4 )

a A = + 1,6   m / s 2

Repare que o valor deu positivo, isso significa que o sentido que arbitramos para o vetor a → A está certo. Ou seja, ele deve ficar assim:

a → A = 1,6   i ^   m / s 2

Resposta

a )   α → A B = - 4 k ^   r a d / s 2

b )   a → A = 1,6   i ^   m / s 2

Exercício Resolvido #2

A viga de aço de 9   m está sendo levantada a partir de sua posição horizontal pelos dois cabos presos em A e B . Se as acelerações angulares iniciais dos tambores de elevação são α 1 = 0,5   r a d / s 2 e α 2 = 0,2   r a d / s 2 nos sentidos indicados, determine a a ) aceleração angular α correspondente da viga, b )   a aceleração de C , e c )   a distância b desde B até um ponto P sobre a linha de centro da viga que não possui aceleração.

Passo 1

Vamos começar montando um esquema para entendermos o que está acontecendo:

Repare que o ponto A é puxado com uma velocidade maior que o ponto B . Mas quando isso acontece o ponto C acaba descendo, pois a viga tende a girar em torno do ponto que vamos chamar de O :

Podemos calcular a aceleração dos pontos A e B com os dados das suas respectivas polias:

a A = r α 1     →         a A = 0,5 0,5

a A = 0,25   m / s 2

E para o ponto B :

a B = r α 2       →         a B = 0,5 0,2

a B = 0,1   m / s 2

Agora podemos achar a aceleração relativa de A com relação a B :

a A - a B = α A B -     →     α = a A - a B A B -

α = 0,25 - 0,1 3

α = 0,05   r a d / s 2

Repare que a viga tende a girar no sentido horário, então a aceleração angular é negativa (não esqueça da nossa convenção de positivo e negativo):

α → = ( - 0,05 k ^ )   r a d / s 2

Passo 2

Como estamos analisando o movimento em torno de B e sabemos que a viga gira com aceleração angular de α = 0,05 , podemos calcular a aceleração do ponto C usando nosso esquema:

Vamos ter que:

a C - a B = α B C -     →         a C = a B + α B C -

Como a B est�� em sentido contrário a a C , temos que colocar um sinal negativo:

a C = - 0 , 1 + 0,05 3

a C = 0,05   m / s 2

Repare que o sinal deu positivo, o que indica que o sinal que arbitramos para a C está correto, ou seja, ele aponta para baixo:

a → C = ( - 0,05 j ^ )   m / s 2

Passo 3

A questão pede a distância b do ponto B até um ponto P de aceleração nula que passe pela linha de centro da viga:

Para achar a distância b é só usarmos o nosso esquema:

a P - a B = α B P -       →       a P = a B + α B P -

Sabemos que a aceleração no ponto P é zero, então:

0 = - 0,1 + 0,05 b      

b = 2   m

Resposta

a )   α → = ( - 0,05 k ^ )   r a d / s 2

b )   a → C = ( - 0,05 j ^ )   m / s 2

c )   b = 2   m

Exercício Resolvido #3

O disco está se deslocando para a esquerda com aceleração angular α = 8   r a d / s 2 e a velocidade angular ω = 3   r a d / s . Se ele não escorrega em A , determine a aceleração do ponto B .

Passo 1

Nosso primeiro passo é relacionar o ponto que queremos saber as informações (ponto B ) com um ponto que já temos algum dado ou que pelo menos conseguimos saber as informações dele de um jeito fácil.

O centro do disco O vai ser o nosso ponto, pois sua aceleração será:

a O = α r     →       a O = 8 ( 0,5 )

a O = 4   m / s 2

E quanto ao seu sentido? Como o disco não sofre uma desaceleração (a aceleração angular está no mesmo sentido da velocidade angular), então a aceleração do ponto O está no sentido do movimento:

Então:

a → O = - 4 i ^   m / s 2

Feito isso, vamos montar nossa equação da aceleração:

a → B = a → O + α × r → B / O - ω 2 r → B / O

Vamos ter o seguintes vetor r → B / O :

Vamos decompor os vetores para fazermos o produto vetorial. O vetor r → B / O pode ser escrito como:

r → B / O = ( - 0,5 cos ⁡ 30 ° i ^ - 0,5 s e n   30 °   j ^ )

r → B / O = - 0,433 i ^ - 0,25 j ^   m