Enunciado

Em um mecanismo projetado para converter movimento linear em movimente angular, o cilindro hidráulico fornece ao pino A uma velocidade constante para baixo v durante um curto intervalo de movimento. Determine a aceleração angular das hastes ranhuradas em termos de θ .

Passo 1

Para resolver esse tipo de problema é muito importante pensar em termos de geometria, porque a física em si é muito mais complicada.

Então vamos imaginar um triângulo naquele desenho:

E agora podemos aproveitar aquele ângulo θ para escrever a seguinte relação:

y = b tan ⁡ θ

E agora vamos derivar isso em relação ao tempo, sabendo que a derivada da coordenada y é o negativo da velocidade v que foi dada no enunciado:

y ˙ = - v = b θ ˙ sec 2 ⁡ θ

E nosso objetivo é encontrar θ ¨ = α , que é a aceleração angular das hastes.

Passo 2

Vamos derivar mais uma vez:

v = - b θ ˙ sec 2 ⁡ θ

Como v é uma constante, sua derivada em relação ao tempo é nula, e para o lado direito precisamos usar a regra do produto:

0 = b θ ¨ sec 2 ⁡ θ + 2 b θ ˙ 2 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ

Lembrando que, pela regra da cadeia:

d d t sec 2 ⁡ θ = ( 2 sec ⁡ θ ) ( θ ˙ sec ⁡ θ tan ⁡ θ )

E agora podemos isolar para encontrar θ ¨ :

0 = b θ ¨ sec 2 ⁡ θ + 2 b θ ˙ 2 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ

θ ¨ = - 2 b θ ˙ 2 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ b sec 2 ⁡ θ = - 2 θ ˙ 2 tan ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos aproveitar a relação que achamos no passo 1 para substituir θ ˙ :

v = - b θ ˙ sec 2 ⁡ θ

θ ˙ = - v b sec 2 ⁡ θ = - v cos 2 ⁡ θ b

E agora substituímos isso na fórmula de cima:

α = - 2 - v cos 2 ⁡ θ b 2 tan ⁡ θ

α = - 2 v 2 cos 4 ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ b 2  

E lembrando que sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ :

α = - v 2 b 2 sen ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ

Pronto!

Resposta

A aceleração angular das hastes é α = - v 2 b 2 sen ⁡ 2 θ cos 2 ⁡ θ .

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