Enunciado

Um quebra-molas está sendo instalado em uma estrada horizontal para lembrar aos motoristas do limite da velocidade existente. Se o motorista do carro sente em G uma aceleração vertical da mesma ordem de g , para cima ou para baixo, se espera que ele perceba que sua velocidade está próxima de ser excessiva. Para o quebra-molas com o contorno co-senoidal mostrado, desenvolva uma expressão para a altura h do ressalto que irá produzir uma componente vertical de aceleração em G de g para uma velocidade v do carro. Calcule h se b = 1   m e v = 20   k m / h . Despreze os efeitos da deflexão da mola de suspensão e do diâmetro finito da roda.

Passo 1

Isso pode parecer muito complicado, mas na verdade só o que precisamos fazer é relacionar a aceleração vertical y ¨ com a altura da lombada.

O enunciado já deu uma expressão que podemos aproveitar:

y = h 2 1 + cos ⁡ π x b

Derivando em relação ao tempo:

y ˙ = h 2 - π x ˙ b sen ⁡ π x b = - h π 2 b x ˙ sen ⁡ π x b

Onde x ˙ é justamente a velocidade horizontal do carro.

Derivando mais uma vez em relação ao tempo:

y ¨ = - h π 2 2 b 2 x ˙ 2 cos ⁡ π x b

E para essa derivada consideramos que x ¨ = 0 porque a velocidade horizontal do carro é constante.

Passo 2

Olhando para a equação que acabamos de encontrar, dá pra ver que o valor máximo que pode assumir acontece quando cos ⁡ π x b = - 1 , então:

y m á x = h π 2 2 b 2 x ˙ 2

Para que o motorista sinta uma aceleração resultante g para cima, é preciso que:

y m á x = 2 g

E então a altura necessária para esse feito é:

2 g = h π 2 2 b 2 x ˙ 2

h = 4 g b π v 2

Passo 3

No caso em que b = 1   m e v = 20   k m / h (ou 5,55   m / s ) , a altura necessária é:

h = 4 9,81 1 5,55   π 2 ≅ 0,129   m

Resposta

h = 4 g b π v 2 e no caso em que b = 1   m e v = 20   k m / h , a altura é h ≅ 0,129   m .

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