Enunciado

Calcule a velocidade angular ω da barra esbelta A B como uma função da distância x e da velocidade angular constante ω 0 do tambor.

Passo 1

Conforme o tambor gira e enrola o fio, a barra é puxada pela roda A . A velocidade com que o fio se enrola no tambor é:

v A = ω 0 r

Que é justamente a velocidade com que A se desloca para a esquerda (por isso o sinal negativo):

x ˙ = - ω 0 r

Nosso objetivo é encontrar a velocidade angular da barra, então precisamos escrever mais algumas relações geométricas.

Passo 2

Vamos chamar de θ o ângulo que a barra forma com o cabo. Nesse caso temos:

h = x tan ⁡ θ

E agora se derivarmos em relação ao tempo (considerando que h é uma constante):

0 = x ˙ tan ⁡ θ + x θ ˙ sec 2 ⁡ θ

E θ ˙ = ω é a velocidade angular que queremos encontrar:

θ ˙ = - x ˙ tan ⁡ θ x sec 2 ⁡ θ = - x ˙ x sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora vamos retomar o desenho para escrevermos algumas relações para o seno e o cosseno do ângulo θ :

sen ⁡ θ = h h 2 + x 2

cos ⁡ θ = x h 2 + x 2

E então:

θ ˙ = - x ˙ x sen ⁡ θ cos ⁡ θ

θ ˙ = ω 0 r x h h 2 + x 2 x h 2 + x 2

θ ˙ = r   h   ω 0 x 2 + h 2

Resposta

A velocidade angular da barra é θ ˙ = r   h   ω 0 x 2 + h 2 .

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