Enunciado

À medida que rola ao longo da superfície do elemento C , o rolete seguidor A B exerce uma força constante F perpendicular à superfície. a Substitua F por um sistema força-binário equivalente no ponto D obtido traçando-se a perpendicular desde o ponto de contato até o eixo x . b Para a = 1   m e b = 2   m , determine o valor de x para o qual o momento do sistema força-binário equivalente em D é máximo.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos encontrar o valor de d y d x , que é a inclinação da reta tangente ao elemento C .

Como C é descrito pela equação:

y = b 1 - x 2 a 2

Temos que a inclinação é dada por:

d y d x = d d x b 1 - x 2 a 2

d y d x = - 2 b x a 2

Agora, podemos aplicar uma coisa interessante. Como F é perpendicular à superfície, temos que:

tan ⁡ α = - d y d x - 1

Onde α é o ângulo formado entre a força e a horizontal. Logo:

tan ⁡ α = a 2 2 b x

Passo 2

Podemos então fazer a seguinte relação:

Chamando a hipotenusa de h , temos que:

h 2 = a 2 2 + 2 b x 2

h = a 4 + 4 b 2 x 2

E portanto:

cos ⁡ α = 2 b x a 4 + 4 b 2 x 2

Pronto... Fizemos isso tudo porque queremos encontrar o binário resultante em D . Vamos calcular no próximo passo.

Passo 3

Sabemos que a força equivalente que atua em D é F , o momento equivalente é dado por:

M D = F cos ⁡ α y A

Podemos retratar y A por b 1 - x 2 a 2 , portanto:

M D = 2 F b x a 4 + 4 b 2 x 2 b 1 - x 2 a 2

Distribuindo as variáveis, temos:

M D = 2 F b 2 x - x 3 a 2 a 4 + 4 b 2 x 2

Portanto, o sistema força binário é dado por:

R D = F     f o r m a n d o   u m   â n g u l o   α = tan - 1 ⁡ a 2 2 b x   c o m   a   h o r i z o n t a l

E:

M D = 2 F b 2 x - x 3 a 2 a 4 + 4 b 2 x 2

Passo 4

Item b:

Agora queremos o x onde o momento do sistema força binário em D é máximo.

Primeiro, vamos substituir os valores dados. Para a = 1   m e b = 2   m , temos que:

M D = 2 F 2 2 x - x 3 1 2 2 4 + 4 1 2 x 2

M D = 8 F x - x 3 1 + 16 x 2

Bom... Sabemos que para que M D , seja máximo a sua derivada com relação a x deve ser nula, portanto:

d M D d x = 0

d d x 8 F x - x 3 1 + 16 x 2 = 0

Aplicando a regra do quociente para derivação, encontraremos o seguinte resultado:

32 x 4 + 3 x 2 - 1 = 0

Resolvendo para x 2 , temos:

x 2 = 3 ± 3 2 - 4 32 - 1 2 32

Como estamos trabalhando com direções o x deve ser positivo, portanto:

x 2 = 0,136011

E:

x = 0,3687   m

Resposta

a )   R D = F     f o r m a n d o   u m   â n g u l o   α = tan - 1 ⁡ a 2 2 b x   c o m   a   h o r i z o n t a l

M D = 2 F b 2 x - x 3 a 2 a 4 + 4 b 2 x 2

b )   x = 0,3687   m

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