Enunciado

Um módulo de excursão lunar foi usado nas missões Apollo de descida na Lua para poupar combustível, tornando desnecessário lançar toda a espaçonave da superfície da Lua na viagem de retorno a Terra. Verifique a eficácia dessa abordagem calculando a energia por quilograma necessária para uma espaçonave escapar do campo gravitacional da Lua, caso a espaçonave parta ( a ) da superfície da Lua, ( b ) de uma órbita circular a 80   k m acima da superfície da Lua. Despreze o efeito do campo gravitacional da Terra. (O raio da Lua é de   1.730   k m e sua massa é 0,0123 vezes a massa da Terra.)

Passo 1

Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Dinâmica. Primeiro, vamos assumir que a uma distância infinita da lua, ou seja, r 2 = ∞ , logo:

v 2 = 0

Portanto, a energia total vai ser:

E 2 = T 2 + V 2 = 0 - G M L u a m ∞ E 2 = 0 - 0 E 2 = 0

Com isso, podemos calcular a energia por quilograma necessária para uma espaçonave escapar do campo gravitacional da Lua, caso a espaçonave parta da superfície da Lua. Temos:

v 1 = 0 T 1 = 0

Assim, a energia potencial gravitacional vai ser:

V 1 = - G M L u a m R L

E a energia total do campo gravitacional da lua é dado por:

E 1 = T 1 + V 1 = 0 - G M L u a m R L u a

O problema nos informou que o raio da lua R L u a é 1730   k m e que:

G M L u a = 0,0123 G M t e r r a G M L u a = 0,0123 g R t e r r a 2

Substituindo:

E 1 = - 0,0123 g R t e r r a 2 m R L u a E 1 = - 0,0123 9,81 6,371 × 10 6 2 m 1,730 × 10 6 E 1 = ( - 341,60   k J ) m

Como queremos a energia em função da massa, temos que a massa da terra é dada por:

m = W t e r r a g

Substituindo:

E 1 = - 341,60   k J ∙ W t e r r a g E 1 = - 341,60   k J ∙ W t e r r a 9,81 E 1 = ( 34.82   k J ) W t e r r a  

Por fim, a energia necessária para que a espaçonave parta da superfície lunar vai ser dada pela variação de energia, ou seja:

∆ E = E 2 - E 1 = 0 + 34.82   k J W t e r r a ∆ E W t e r r a = 34.82   k J / k g

Passo 2

Em seguida, para a decolagem de uma órbita à 80   k m da lua, temos:

r 1 = R L u a + 80   k M = 1730 + 80 r 1 = 1810   k m

Pela segunda lei de Newton, temos:

F = m a G M L u a m r 1 2 = m v 1 2 r 1 v 1 2 = G M m r 1

E a energia cinética vai ser:

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 1 2 m G M L u a r 1

E a energia potencial gravitacional:

V 1 = - G M L u a m r 1

Com isso, a energia total pode ser encontrada pela seguinte relação:

E 1 = T 1 + V 1 = 1 2 m G M L u a r 1 - G M L u a m r 1 E 1 = 1 2 G M L u a r 1 m = 1 2 0,0123 g R t e r r a 2 r 1 m E 1 = 1 2 0,0123 9,81 6,371 × 10 6 2 m 1,810 × 10 6 E 1 = 326,50   k J ∙ m

Novamente, como queremos a energia em função da massa, temos que a massa da terra é dada por:

m = W t e r r a g

Substituindo:

E 1 = - 326,50   k J ∙ W t e r r a g E 1 = - 326,50   k J ∙ W t e r r a 9,81 E 1 = - ( 33,28   k J ) W t e r r a  

Por fim, a energia necessária para que a espaçonave parta da superfície lunar vai ser dada pela variação de energia, ou seja:

∆ E = E 2 - E 1 = 0 + 34.82   k J W t e r r a ∆ E W t e r r a = 33 , 28   k J / k g

É isso, galerinha. Bora praticar mais!

Resposta

∆ E W t e r r a = 34.82   k J / k g

∆ E W t e r r a = 33 , 28   k J / k g

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