Enunciado

14.53. Em um jogo de bilhar, a bola A tem velocidade inicial v0 ao longo da direção do eixo longitudinal da mesa. Ela atinge a bola B e a seguir a bola C, que estão ambas em repouso. Observa-se que as bolas A e C atingem as laterais da mesa perpendicularmente nos pontos A e C, respectivamente, enquanto a bola B atinge a lateral da mesa obliquamente em B. Sabendo que v0 4 m/s, va 2 m/s e a 1.600 mm, determine (a) as velocidades vB e vC das bolas B e C, (b) o ponto C onde a bola C atinge a lateral da mesa. Considere as superfícies como sendo sem atrito e os choques como perfeitamente elásticos (isto é, conservação de energia).

Passo 1

Já estamos na metade do capítulo, vamos lá!

Para resolver esse problema vamos usar conservação de momento linear.

∑ m i v i = ∑ m f v f

Para ficar mais organizado ainda, podemos escrever a equação de momento para cada eixo. Para o eixo i ^

m v 0 = m v B x + m v C x    

Podemos cortar as massas

v 0 = v B x + v C x

A gente sabe o valor de v 0 , é só olhar o enunciado

v 0 = 4 m s  

Então

v B x + v C x = 4

Passo 2

E para o eixo j ^

0 = - m v A + v B y  

m v A = m v B y

A gente pode cortar as massas

v A = v B y

Mas a gente sabe v A , está no enunciado.

v A = 2 m s

Então

v B y = 2

Passo 3

A gente ainda não encontrou a resposta, mas temos mais uma coisa pra usar, a equação da conservação de energia

∑ 1 2 m v i 2 = ∑ 1 2 m v f 2

Para este caso

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v A 2 + v B 2 + v C 2

Podemos cortar 1 2   m

v 0 2 = v A 2 + v B 2 + v C 2

Vamos escrever v B 2 como v B x 2 + v B y 2

v 0 2 = v A 2 + v B x 2 + v B y 2 + v C 2

E agora vamos substituir os valores que conhecemos

4 2 = 2 2 + v B x 2 + 2 2 + v C 2

E aí ficamos com

v B x 2 = 8 - v C 2

Passo 4

Esse resultado é essencial para gente, porque com ele conseguimos resolver uma equação que a gente tinha lá no começo, na conservação de momento linear ainda.

v B x + v C = 4

Vamos fazer a seguinte alteração

v B x = 4 - v C

Agora elevamos ao quadrado

v B x 2 = 4 - v C 2

Aí fica mais fácil da gente substituir os valores

8 - v C 2 = 4 - v C 2

Agora a gente abre esse quadrado

8 - v C 2 = 16 + v C 2 - 8 v C

Então

- 2 v C 2 + 8 v C - 8 = 0

Aplicando Bhaskaras chegamos em

v C = 2 m s

Finalmente chegamos em uma velocidade para v C

Passo 5

Agora podemos usar a equação

v 0 2 = v A 2 + v B 2 + v C 2

Para determinar v B

v B = v 0 2 - v A 2 - v C 2

Vamos substituir os valores

v B = 4 2 - 2 2 - 2 2 = 2,83 m s

Só falta determinar o ângulo, mas isso não vai ser difícil, a gente tem o módulo de v B e v B x , isso significa que temos esse triângulo:

Então a gente pode determinar θ usando

cos ⁡ θ = v B x v B = 2 2,83

θ = arccos ⁡ 2 2,83 = 45 °

E isso conclui o item (a)

Passo 6

Mas a questão ainda não acabou, agora vamos para o item (b). Precisamos determinar o ponto C.

Chegou a hora de usar conservação do momento angular.

∑ r i × m v i = ∑ r f × m v f

Isso vai ficar

r A → × m   v 0 → = a → × m - v A → + r B → × m v B → + c → × m v C →

Olha pra imagem. A gente pode ver que a componente em i ^ da velocidade v B → está em paralelo com o vetor r B → , então a gente pode desprezar essa componente e reescrever equação assim

r A → × m   v 0 → = a → × m - v A → + r B → × m v B y → + c → × m v C →

Agora todos os vetores velocidades estão perpendiculares aos seus respectivos vetores posição, então a gente pode reescrever a equação assim

r A → ⋅ m   v 0 → = a → ⋅ m - v A → + r B → ⋅ m v B y → + c → ⋅ m v C →

Podemos cortar as massas

r A → ⋅   v 0 → = a → ⋅ - v A → + r B → ⋅ v B y → + c → ⋅ v C →

Passo 7

Agora a gente tem a expressão montada, então vamos substituir os valores que conhecemos, olhando na imagem a gente sabe que

r A → = 750   m m = 0,75   m

r B → = 1800   m m = 1,8 m

E do enunciado sabemos que

a → = 1600   m m = 1,6   m

v 0 = 4 m s

v A = 2 m s  

E do item (a) sabemos que

v B y = 2 m s

v C = 2 m s

Vamos substituir isso na equação

r A → ⋅   v 0 → = a → ⋅ - v A → + r B → ⋅ v B y → + c → ⋅ v C →

( 0,75 ) ⋅ ( 4 ) = 1,6 ⋅ - 2 + 1,8 ⋅ 2 + c → ⋅ ( 2 )

Isso vai ficar

c → = 1,3

Resposta

a : v B = 2,83   m s ; θ = 45 °                   v C = 2 m s ; θ = 0 ° b : C = 1,3   m

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