Enunciado

Um momento de 3,5   k N m é aplicado à barra de aço mostrada. Pede-de:

  1. Sendo que o momento encurva a barra em torno do eixo horizontal, determinar a máxima tensão e o raio de curvatura;
  2. Resolver a parte a), considerando que a barra é encurvada em torno do eixo vertical pelo momento de 3,5   k N m . Usar E = 200   G P a

Passo 1

Nossos objetivos são dois, determinar a máxima tensão e o raio de curvatura, sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ x = - M y I

E o raio da curvatura é calculado da seguinte maneira:

1 ρ = M E I

Como queremos o raio de curvatura, podemos definir como:

ρ = E I M

Pelo enunciado temos os seguintes dados comuns ao item A) e B).

M = 3,5   k N m = 3500   N m = 3500000   N m m

E = 200   G P a = 200 k N m m 2 = 200000 N m m 2

E por ser um retângulo, sabemos que a LN ocorre no meio termo da seção, o que já facilita a nossa vida.

E precisamos do momento de inércia e dos valores de Y, porém isso varia de acordo com a orientação da encurvatura da nossa seção, então para isso iremos dividir o cálculo.

Passo 2

Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  1. Para o item A) a encurvatura ocorre em torno da horizontal, sendo assim teremos que a nossa seção será dada por:
  2. E sabemos que o momento de inercia será calculado por:

    I = b h 3 12 = 45   .   75 3 12 = 1582031,25   m m 4

    E para determinação do y teremos que:

    Determinando as nossas tensões, teremos que:

    σ c o m p r e s s ã o = - M y + I = - 3500000   N m m   .   37,5   m m 1582031,25   m m 4 = - 82,96 N m m 2 = - 83   M P a

    σ t r a ç a õ = - M y - I = - 3500000   N m m   . -   37,5 m m 1582031,25   m m 4 = + 82,96 N m m 2 = 83   M P a

    E determinando a curvatura, teremos que:

    ρ = E I M = 200000 N m m 2 . 1582031,25   m m 4 3500000   [ N m m ] = 90402   m m = 90,4 m

    Passo 3

    Vamos definir primeiro o momento de inércia e y teremos que:

  3. Para o item B) a encurvatura ocorre em torno da vertical, e pode parecer que a conta será o mais difícil, mas o que podemos fazer é girar a seção, e ai o nosso eixo vertical se torna horizontal, e toda a conta volta a ser o que já sabemos , sendo assim teremos que a nossa seção será dada por:

E sabemos que o momento de inercia será calculado por:

I = b h 3 12 = 75   .   4 5 3 12 = 569531,25   m m 4

E para determinação do y teremos que:

Determinando as nossas tensões, teremos que:

σ c o m p r e s s ã o = - M y + I = - 3500000   N m m   .   22,5   m m 569531,25 m m 4 = - 138,3 N m m 2 = - 138,3   M P a

σ t r a ç a õ = - M y - I = - 3500000   N m m   . -   22 , 5 m m 569531,25   m m 4 = + 138,3 N m m 2 = 138,3   M P a

E determinando a curvatura, teremos que:

ρ = E I M = 200000 N m m 2 . 569531,25   m m 4 3500000   [ N m m ] = 32545   m m = 32,5   m

Resposta

  1. σ = 83   M P a e ρ = 90,4   m
  2. σ = 138,3   M P a e ρ = 32,5   m
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