Enunciado

Se o momento de atrito no mancal é de 2   N ∙ m , determine a aceleração angular do tambor ranhurado, que possui uma massa de 8   k g e um raio de giração k O = 225   m m .

Passo 1

Vamos começar com um esquema da situação:

Ok, então nós temos três incógnitas nesse problema, as trações T 1 e T 2 nas cordas, e a aceleração angular α do tambor.

Isso quer dizer que vamos precisar montar três equações para resolver o problema.

Passo 2

Vamos começar com as equações das forças que agem sobre cada cilindro. Em cada caso, a aceleração do cilindro será a aceleração angular α do tambor multiplicada pelo raio do círculo onde cada corda está enrolada no tambor.

Começando pelo cilindro de 7   k g :

∑ F y = m 2 r 2 α

E o peso P 2 deve aparecer com um sinal negativo, já que ele é contrário à aceleração angular α que definimos:

T 2 - P 2 = m 2 r 2 α

T 2 - m 2 g = m 2 r 2 α

E fazendo a mesma coisa para o cilindro da esquerda, encontramos o seguinte:

∑ F y = m 1 r 1 α

E agora temos que inverter os sinais da tração e do peso:

P 1 - T 1 = m 1 r 1 α

m 1 g - T 1 = m 1 r 1 α

Passo 3

E a nossa terceira equação virá dos momentos que agem no tambor. Além dos momentos gerados pelas trações T 1 e T 2 , temos o momento de atrito de 2   N ∙ m , que se opõe à rotação:

∑ M O = I O α

T 1 0,200 - T 2 0,300 - 2 = M k 0 2 α

0,2 T 1 - 0,3 T 2 - 2 = 8 k 0 2 α

E então ficamos com um sistema de três equações:

0,2 T 1 - 0,3 T 2 - 2 = 8 k 0 2 α m 1 g - T 1 = m 1 r 1 α T 2 - m 2 g = m 2 r 2 α

Vamos substituir os valores:

0,2 T 1 - 0,3 T 2 - 2 = 0,405 α 12 9,81 - T 1 = 12 0,2 α T 2 - 7 9,81 = 7 0,3 α

0,2 T 1 - 0,3 T 2 - 2 = 0,405 α 117,72 - T 1 = 2,4 α T 2 - 68,67 = 2,1 α

Vamos multiplicar a segunda equação por 0,2 , e a terceira por 0,3 , e então somar todas:

0,2 T 1 - 0,3 T 2 - 2 = 0,405 α 23,544 - 0,2 T 1 = 0,48 α 0,3 T 2 - 20,601 = 0,63 α

23,544 - 20,60 - 2 = 0,405 + 0,48 + 0,63 α

α = 0,944 1,515 = 0,623   r a d / s 2

Resposta

A aceleração angular é α = 0,623   r a d / s 2 .

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