Enunciado

Um momento M deve ser aplicado a uma viga de seção transversal retangular, que é serrado de um tarugo de seção transversal circular. Determinar o raio d / b , para que:

  1. A máxima tensão σ m seja a menor possível;
  2. O raio de curvatura da viga seja máximo.

Passo 1

Sabemos que o diâmetro da barra circular pode ser determinado em função das dimensões do tarugo, sendo assim teremos que:

D 2 = b 2 + d 2

Sabemos que o momento de inércia é dado por:

I = b d 3 12

Sabemos que o modulo resistente é dado por:

w = I c

E como a tensão é calculada por:

σ m = M w

Como queremos a tensão mínima, precisamos ter o w máximo, e ter o máximo, significa ter a seguinte razão máxima:

w = I c

O I já sabemos quanto vale, e o c , nada mais é que a metade da altura da seção do tarugo, sendo assim teremos que:

c = d 2

Se fizermos a conta do momento resistente, teremos que:

w = I c = b d 3 12 d 2 = b d 2 6

E como você pode lembrar, definimos uma relação entre a base do tarugo, a altura do tarugo, e o diâmetro da barra, e achamos isso aqui:

D 2 = b 2 + d 2

E perceba que temos o seguinte dado na equação d 2 , com isso podemos fazer a seguinte conta:

D 2 = b 2 + d 2

d 2 = D 2 - b 2

Substituindo isso no nosso módulo resistente teremos que:

w = I c = b ( D 2 - b 2 ) 6

Perceba então que a nossa equação é dada por:

I c = b D 2 - b 2 6

O nosso objetivo é determinar o máximo valor da relação I / c , logo, lembrando o nosso conceito de derivada, se derivarmos o nosso modulo resistente, ele deverá ser igual a zero, para termos o nosso valor máximo. Assim, se derivarmos em função de b , e igualarmos a zero, teremos o valor máximo de b , sendo assim teremos que:

d d b I c = d d b b D 2 - b 2 6 = 0

d d b I c = d d b b D 2 - b 3 6 = 0

d d b I c = D 2 6 - 3 b 2 6 = 0

D 2 6 = 3 b 2 6

D 2 = 3 b 2

b 2 = D 2 3

b = D 3

Se temos o valor máximo de b , podemos determinar o máximo d , substituindo teremos que:

d 2 = D 2 - D 3 2 = D 2 - D 2 3 = 2 D 2 3

d 2 = 2 D 2 3

d = D 2 3

Como queremos saber exatamente a razão d / b , e fixemos toda a conta para descobrir a tensão mínima, teremos que a conta será dada por:

d b = D 2 3 D 3 = D 2 3   . 3 D = 2

Logo a razão será dada por:

d b = 2

Passo 2

Para o item b) queremos determinar o raio de curvatura, e sabemos que a equação é dada por:

ρ = E I M

E se queremos o raio de curvatura máximo, precisamos ter o valor de I máximo.

I = b d 3 12

Se elevarmos o momento de inércia ao quadrado, teremos que:

I 2 = b 2 d 6 144

Sabemos que podemos escrever:

I 2 = b 2 d 6 144

D 2 = b 2 + d 2

b 2 = D 2 - d 2

Substituindo teremos que:

I 2 = ( D 2 - d 2 ) d 6 144

I 2 = ( D 2 d 6 - d 8 ) 144

I 2 = D 2 d 6 144 - d 8 144

Derivando teremos que:

d I 2 d d = 6 D 2 d 5 144 - 8 d 7 144 = 0

6 D 2 d 5 144 - 8 d 7 144 = 0

Sendo assim teremos que:

6 D 2 d 5 = 8 d 7

3 D 2 4 = d 2

d = D 3 2

Agora que temos o valor de d , podemos substituir na seguinte fórmula:

b 2 = D 2 - d 2

b 2 = D 2 - D 3 2 2

b 2 = D 2 - 3 D 4 2 = D 2 4

b = D 2

Fazendo a razão, teremos que:

d b = D 3 2 D 2 = D 3 2   . 2 D = 3

d b = 3

Resposta

  1. d b = 2
  2. d b = 3
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